Вправа 7.20 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 7.20. Знайдіть найменше ціле число, що є розв'язком системи:
- $\begin{cases} 5(2x-1)+3 > 2(x-1)+7x, \\ 6(1-x)+2 \geqslant 3(x+1)-7x; \end{cases}$
- $\begin{cases} \dfrac{3x+2}{2} \geqslant 2(2x+1), \\ (x+5)(x-3) \geqslant x(x-1)-21. \end{cases}$
1)
$\begin{cases} 5(2x-1)+3 > 2(x-1)+7x, \\ 6(1-x)+2 \geqslant 3(x+1)-7x; \end{cases}$
$\begin{cases} 10x-5+3 > 2x-2+7x, \\ 6-6x+2 \geqslant 3x+3-7x; \end{cases}$
$\begin{cases} 10x-2 > 9x-2, \\ 8-6x \geqslant -4x+3; \end{cases}$
$\begin{cases} x > 0, \\ 5 \geqslant 2x; \end{cases}$
$\begin{cases} x > 0, \\ x \leqslant \dfrac{5}{2}. \end{cases}$
$x \in \left(0;\,\dfrac{5}{2}\right]$.
2)
$\begin{cases} \dfrac{3x+2}{2} \geqslant 2(2x+1), \\ (x+5)(x-3) \geqslant x(x-1)-21; \end{cases}$
$\begin{cases} 3x+2 \geqslant 4(2x+1), \\ x^2+2x-15 \geqslant x^2-x-21; \end{cases}$
$\begin{cases} 3x+2 \geqslant 8x+4, \\ 3x \geqslant -6; \end{cases}$
$\begin{cases} -5x \geqslant 2, \\ x \geqslant -2; \end{cases}$
$\begin{cases} x \leqslant -\dfrac{2}{5}, \\ x \geqslant -2. \end{cases}$
$x \in \left[-2;\,-\dfrac{2}{5}\right]$.
Розв'язання системи лінійних нерівностей
1) Розв'язати кожну нерівність окремо.
2) Знайти перетин отриманих проміжків.
3) Якщо перетин порожній — система не має розв'язків.
Властивості нерівностей
Ділення обох частин на додатне число — знак нерівності зберігається.
Ділення на від'ємне — знак нерівності змінюється на протилежний.
Множення дужок
$(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$.
Чому в пункті 2) перша нерівність множиться на 2? Ліворуч стоїть дріб $\dfrac{3x+2}{2}$ — найпростіший спосіб від нього позбутися, помножити обидві частини на 2. Знак нерівності зберігається, бо 2 > 0.
Як розкрити $(x+5)(x-3)$ і $(x^2-x)$ та скоротити? Після розкриття $x^2$ є в обох частинах: $x^2+2x-15 \geqslant x^2-x-21$. Віднімаємо $x^2$ від обох частин — залишається лінійна нерівність. Цей прийом часто зустрічається в завданнях на системи.
Знаходження найменшого цілого числа. У (1) розв'язок $(0;\,\tfrac{5}{2}]$: нуль не входить (кругла дужка), тому найменше ціле — 1. У (2) розв'язок $[-2;\,-\tfrac{2}{5}]$: $-2$ входить (квадратна дужка), тому воно і є найменшим цілим.
Часті помилки. 1) Забути змінити знак при діленні на від'ємне у першій нерівності п. 2): $-5x \geqslant 2$ дає $x \leqslant -\tfrac{2}{5}$, а не $x \geqslant -\tfrac{2}{5}$. 2) Вважати, що 0 входить у $(0;\,\tfrac{5}{2}]$ — ні, кругла дужка означає суворе. 3) Помилитися у знаку при перенесенні: $8-6x \geqslant -4x+3$ → $8-3 \geqslant 6x-4x$ → $5 \geqslant 2x$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.