Вправа 7.22 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 7.22. Розв'яжіть систему нерівностей $\begin{cases} x(x-1)-(x-1)^2 > 3-x, \\ (2x-9)(2x+9) < (2x-1)^2. \end{cases}$ Знайдіть добуток $101x_0$, де $x_0$ — найбільший цілий розв'язок системи нерівностей, відтак дізнайтеся, якого року Жан здобув свою найвищу нагороду — став олімпійським чемпіоном.
$\begin{cases} x(x-1)-(x-1)^2 > 3-x, \\ (2x-9)(2x+9) < (2x-1)^2; \end{cases}$
$\begin{cases} (x-1)\bigl[x-(x-1)\bigr] > 3-x, \\ 4x^2-81 < 4x^2-4x+1; \end{cases}$
$\begin{cases} (x-1)\cdot 1 > 3-x, \\ -81 < -4x+1; \end{cases}$
$\begin{cases} x-1 > 3-x, \\ 4x < 82; \end{cases}$
$\begin{cases} 2x > 4, \\ x < \dfrac{41}{2}; \end{cases}$
$\begin{cases} x > 2, \\ x < \dfrac{41}{2}. \end{cases}$
$x \in \left(2;\,\dfrac{41}{2}\right)$.
Найбільший цілий розв'язок: $x_0 = 20$.
$101x_0 = 101 \cdot 20 = 2020$.
Різниця квадратів
$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
У задачі: $(2x-9)(2x+9) = (2x)^2 - 9^2 = 4x^2 - 81$.
Квадрат різниці
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
У задачі: $(2x-1)^2 = 4x^2 - 4x + 1$.
Винесення спільного множника
$x(x-1)-(x-1)^2 = (x-1)\bigl[x-(x-1)\bigr] = (x-1)\cdot 1 = x-1$.
Ключ до першої нерівності — винесення $(x-1)$. Якщо розкривати дужки у лоб: $x^2-x-(x^2-2x+1) = x-1$. Але помітивши спільний множник $(x-1)$, отримуємо той самий результат швидше і без помилок. Обидва способи правильні.
Чому в другій нерівності $4x^2$ скорочується? Після розкриття обох частин: $4x^2-81 < 4x^2-4x+1$. Віднімаємо $4x^2$ від обох частин — квадратна нерівність стає лінійною. Цей прийом вже зустрічався у 7.21.
Чому $x_0 = 20$, а не $\tfrac{41}{2} = 20{,}5$? Права межа проміжку — кругла дужка ($x < \tfrac{41}{2}$), тобто $20{,}5$ не входить. Найбільше ціле, що менше за $20{,}5$ — це $20$. Перевірка: $20 \in (2;\,20{,}5)$ ✓.
Зв'язок з реальністю. $101 \cdot 20 = 2020$ — рік Олімпійських ігор у Токіо (перенесених на 2021 рік через пандемію), де Жан Беленюк здобув золоту медаль у греко-римській боротьбі.
Часті помилки. 1) Розкрити $(x-1)^2$ як $x^2-1$ замість $x^2-2x+1$. 2) При скороченні $4x^2$ забути перенести знак: $-81 < -4x+1$ → $4x < 1+81 = 82$ → $x < \tfrac{82}{4}$... Стоп: $\tfrac{82}{4} = \tfrac{41}{2}$ ✓. 3) Написати $x_0 = 20{,}5$ — питання про ціле число.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.