Вправа 7.23 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 7.23. Знайдіть область допустимих значень змінної у виразі:
- $\sqrt{2x+7}+\sqrt{1-5x}$;
- $\sqrt{0{,}3x-6}+\dfrac{1}{\sqrt{4x-8}}$.
1) $\sqrt{2x+7}+\sqrt{1-5x}$
Обидва підкореневі вирази мають бути невід'ємними:
$\begin{cases} 2x+7 \geqslant 0, \\ 1-5x \geqslant 0; \end{cases}$
$\begin{cases} x \geqslant -\dfrac{7}{2}, \\ x \leqslant \dfrac{1}{5}. \end{cases}$
2) $\sqrt{0{,}3x-6}+\dfrac{1}{\sqrt{4x-8}}$
Перший доданок: підкореневий вираз $\geqslant 0$. Другий доданок: підкореневий вираз у знаменнику $> 0$ (строго, бо знаменник $\neq 0$):
$\begin{cases} 0{,}3x-6 \geqslant 0, \\ 4x-8 > 0; \end{cases}$
$\begin{cases} 0{,}3x \geqslant 6, \\ 4x > 8; \end{cases}$
$\begin{cases} x \geqslant 20, \\ x > 2. \end{cases}$
Умови існування виразів
$\sqrt{f(x)}$ існує, якщо $f(x) \geqslant 0$ (нестрога нерівність).
$\dfrac{1}{\sqrt{f(x)}}$ існує, якщо $f(x) > 0$ (строга нерівність — знаменник не може дорівнювати нулю).
ОДЗ суми виразів
ОДЗ суми — це перетин ОДЗ кожного доданка окремо. Записується як система нерівностей.
Чому в пункті 2) умова для другого кореня строга ($>0$), а не нестрога ($\geqslant 0$)? Якщо $4x-8 = 0$, то $\sqrt{4x-8} = 0$, і вираз $\dfrac{1}{\sqrt{4x-8}}$ перетворюється на ділення на нуль — не існує. Тому знаменник має бути строго більшим за нуль.
Як знайти перетин у пункті 2)? Маємо $x \geqslant 20$ і $x > 2$. Умова $x \geqslant 20$ жорсткіша — будь-яке $x \geqslant 20$ автоматично задовольняє $x > 2$. Тому перетин — просто $x \geqslant 20$.
Як перевести $0{,}3x \geqslant 6$? Ділимо на $0{,}3 > 0$: $x \geqslant \dfrac{6}{0{,}3} = \dfrac{6}{\frac{3}{10}} = 6 \cdot \dfrac{10}{3} = 20$. Або множимо обидві частини на 10: $3x \geqslant 60$, тоді $x \geqslant 20$.
Часті помилки. 1) У пункті 2) написати $4x-8 \geqslant 0$ замість $4x-8 > 0$ — забути про заборону нуля в знаменнику. 2) У пункті 1) при $-5x \leqslant -1$ забути змінити знак: $x \geqslant \tfrac{1}{5}$ замість $x \leqslant \tfrac{1}{5}$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.