Вправа 7.27 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 7.27. Розв'яжіть систему нерівностей:
- $\begin{cases} 2(x-1)-3(x-2)+x < 0, \\ 1{,}3x(x-2)-0{,}4 < x(1{,}3x-3); \end{cases}$
- $\begin{cases} 2{,}5x-0{,}5(8-x)-1{,}6 < x, \\ x+2{,}1 > 1{,}5(2x-1)-2x; \end{cases}$
- $\begin{cases} 2-x > 2x(x-3)-x(2x-5), \\ 5-10x < 3x(2x-4)-x(6x-2); \end{cases}$
- $\begin{cases} \dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{3}+7 > \dfrac{5x}{6}, \\[6pt] x-\dfrac{7x}{8} < \dfrac{x}{8}+4. \end{cases}$
1)
$\begin{cases} 2(x-1)-3(x-2)+x < 0, \\ 1{,}3x(x-2)-0{,}4 < x(1{,}3x-3); \end{cases}$
$\begin{cases} 2x-2-3x+6+x < 0, \\ 1{,}3x^2-2{,}6x-0{,}4 < 1{,}3x^2-3x; \end{cases}$
$\begin{cases} 4 < 0, \\ 0{,}4x < 0{,}4; \end{cases}$
Перша нерівність — хибне твердження, вона не має розв'язків.
2)
$\begin{cases} 2{,}5x-0{,}5(8-x)-1{,}6 < x, \\ x+2{,}1 > 1{,}5(2x-1)-2x; \end{cases}$
$\begin{cases} 2{,}5x-4+0{,}5x-1{,}6 < x, \\ x+2{,}1 > 3x-1{,}5-2x; \end{cases}$
$\begin{cases} 3x-5{,}6 < x, \\ x+2{,}1 > x-1{,}5; \end{cases}$
$\begin{cases} 2x < 5{,}6, \\ 2{,}1 > -1{,}5; \end{cases}$
$\begin{cases} x < 2{,}8, \\ \text{істинно для всіх } x. \end{cases}$
3)
$\begin{cases} 2-x > 2x(x-3)-x(2x-5), \\ 5-10x < 3x(2x-4)-x(6x-2); \end{cases}$
$\begin{cases} 2-x > 2x^2-6x-2x^2+5x, \\ 5-10x < 6x^2-12x-6x^2+2x; \end{cases}$
$\begin{cases} 2-x > -x, \\ 5-10x < -10x; \end{cases}$
$\begin{cases} 2 > 0, \\ 5 < 0. \end{cases}$
Друга нерівність — хибне твердження, вона не має розв'язків.
4)
$\begin{cases} \dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{3}+7 > \dfrac{5x}{6}, \\[6pt] x-\dfrac{7x}{8} < \dfrac{x}{8}+4; \end{cases}$
$\begin{cases} \dfrac{3x+2x}{6}+7 > \dfrac{5x}{6}, \\[6pt] \dfrac{8x-7x}{8} < \dfrac{x}{8}+4; \end{cases}$
$\begin{cases} \dfrac{5x}{6}+7 > \dfrac{5x}{6}, \\[6pt] \dfrac{x}{8} < \dfrac{x}{8}+4; \end{cases}$
$\begin{cases} 7 > 0, \\ 0 < 4. \end{cases}$
Обидві нерівності — істинні твердження для будь-якого $x$.
Три можливі результати системи нерівностей
Розв'язків немає — хоча б одна нерівність після спрощення дає хибне твердження (наприклад, $4 < 0$).
Нескінченна множина розв'язків — обидві нерівності після спрощення або дають числову істину (наприклад, $7 > 0$), або одна з них виконується для всіх $x$.
Проміжок — звичайний випадок.
Скорочення однакових членів
Якщо в обох частинах нерівності є однаковий доданок (наприклад, $-x$ або $\dfrac{5x}{6}$) — його можна відняти від обох частин. Нерівність не зміниться.
Чому в (1) система не має розв'язків, хоча друга нерівність розв'язується? Система — це «і»: обидві нерівності мають виконуватись одночасно. Якщо перша нерівність $4 < 0$ — хибна за будь-якого $x$, то немає жодного $x$, при якому виконуються обидві. Навіть не треба розв'язувати другу.
Що означає «завжди істинно» в (2)? Друга нерівність після спрощення дає $2{,}1 > -1{,}5$ — це правда при будь-якому $x$. Значить, вона не накладає жодних обмежень на $x$, і розв'язком системи є лише умова першої: $x < 2{,}8$.
Пункт (3): обидві нерівності «красиво» спрощуються. Доданок $x^2$ скорочується в обох, $-x$ скорочується в першій, $-10x$ — в другій. Це навмисна побудова задачі — звертай увагу на структуру виразів перед розкриттям дужок.
Пункт (4): $\dfrac{5x}{6}$ скорочується в першій, $\dfrac{x}{8}$ — в другій. Обидві нерівності перетворюються на числові істини. Розв'язком є вся числова пряма — $\mathbb{R}$.
Часті помилки. 1) У (1) продовжувати розв'язувати другу нерівність після того, як перша вже дала хибність. 2) У (4) відповісти «немає розв'язків» замість «всі дійсні числа» — переплутати хибність і тотожну істинність.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.