Вправа 7.29 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 7.29. Знайдіть область визначення функції:
- $y = \sqrt{x-3}+\dfrac{1}{\sqrt{7-x}}+\dfrac{1}{x^2-25}$;
- $y = \sqrt{2x-8}+\dfrac{x}{\sqrt{10-x}}+\dfrac{7}{\sqrt{0{,}2x-1}}$.
1) $y = \sqrt{x-3}+\dfrac{1}{\sqrt{7-x}}+\dfrac{1}{x^2-25}$
$\begin{cases} x-3 \geqslant 0, \\ 7-x > 0, \\ x^2-25 \neq 0; \end{cases}$
$\begin{cases} x \geqslant 3, \\ x < 7, \\ x \neq \pm 5. \end{cases}$
Перетин перших двох умов: $3 \leqslant x < 7$. З нього виключаємо $x = 5$ (бо $x = -5$ не входить у $[3;\,7)$).
2) $y = \sqrt{2x-8}+\dfrac{x}{\sqrt{10-x}}+\dfrac{7}{\sqrt{0{,}2x-1}}$
$\begin{cases} 2x-8 \geqslant 0, \\ 10-x > 0, \\ 0{,}2x-1 > 0; \end{cases}$
$\begin{cases} x \geqslant 4, \\ x < 10, \\ x > 5. \end{cases}$
Найжорсткіші умови: $x > 5$ і $x < 10$ (умова $x \geqslant 4$ виконується автоматично при $x > 5$).
Умови існування виразів
$\sqrt{f(x)}$ існує при $f(x) \geqslant 0$.
$\dfrac{1}{\sqrt{f(x)}}$ існує при $f(x) > 0$ (знаменник $\neq 0$).
$\dfrac{1}{g(x)}$ існує при $g(x) \neq 0$.
ОВ суми — перетин умов кожного доданка
Записуємо систему умов для всіх доданків, розв'язуємо кожну нерівність, знаходимо перетин.
Пункт (1): чому $x = -5$ не потрібно виключати окремо? Умова $x^2-25 \neq 0$ дає $x \neq 5$ і $x \neq -5$. Але перетин перших двох умов — $[3;\,7)$. Число $-5$ не належить цьому проміжку, тому виключати його не потрібно — воно і так не входить. Виключаємо лише $x = 5$, яке потрапляє в $[3;\,7)$.
Пункт (2): як визначити «найжорсткішу» умову. Маємо три умови: $x \geqslant 4$, $x < 10$, $x > 5$. Нижня межа — максимум з $4$ і $5$, тобто $5$ (строга). Верхня межа — мінімум, тобто $10$ (строга). Результат: $(5;\,10)$.
Перевірка (2). $x = 6 \in (5;\,10)$: $2\cdot6-8=4 \geqslant 0$ ✓; $10-6=4 > 0$ ✓; $0{,}2\cdot6-1=0{,}2 > 0$ ✓. $x = 5 \notin (5;\,10)$: $0{,}2\cdot5-1=0$ — ділення на нуль ✗.
Часті помилки. 1) У (1) забути виключити $x=5$ — написати $D(y)=[3;\,7)$. 2) У (2) для $\sqrt{2x-8}$ написати строгу нерівність $2x-8 > 0$ — під коренем без знаменника допускається нуль. 3) Не помітити, що $x \geqslant 4$ поглинається умовою $x > 5$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.