Вправа 7.30 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер

Умова

Вправа 7.30. Знайдіть область допустимих значень змінної у виразі:

$\sqrt{x-2}+\dfrac{1}{\sqrt{6-x}}+\dfrac{1}{x^2-16}$ ;
$\sqrt{3x-6}+\dfrac{5}{\sqrt{8-x}}+\dfrac{x}{\sqrt{0{,}5x-1{,}5}}$ .

Розв'язання

1) $\sqrt{x-2}+\dfrac{1}{\sqrt{6-x}}+\dfrac{1}{x^2-16}$

$\begin{cases} x-2 \geqslant 0, \\ 6-x > 0, \\ x^2-16 \neq 0; \end{cases}$

$\begin{cases} x \geqslant 2, \\ x < 6, \\ x \neq \pm 4. \end{cases}$

Перетин перших двох: $2 \leqslant x < 6$ . З нього $x = -4$ не входить, виключаємо лише $x = 4$ .

Відповідь

[2;\,4) \cup (4;\,6)

2) $\sqrt{3x-6}+\dfrac{5}{\sqrt{8-x}}+\dfrac{x}{\sqrt{0{,}5x-1{,}5}}$

$\begin{cases} 3x-6 \geqslant 0, \\ 8-x > 0, \\ 0{,}5x-1{,}5 > 0; \end{cases}$

$\begin{cases} x \geqslant 2, \\ x < 8, \\ x > 3. \end{cases}$

Умова $x \geqslant 2$ виконується автоматично при $x > 3$ . Залишається: $3 < x < 8$ .

Відповідь

(3;\,8)

Умови існування виразів

$\sqrt{f(x)}$ існує при $f(x) \geqslant 0$ .

$\dfrac{a}{\sqrt{f(x)}}$ існує при $f(x) > 0$ .

$\dfrac{a}{g(x)}$ існує при $g(x) \neq 0$ .

Виключення точок з проміжку

Якщо умова виду $x \neq a$ — перевіряємо, чи належить точка $a$ вже знайденому перетину. Якщо так — «вирізаємо» її з проміжку. Якщо ні — нічого не робимо.

Пункт (1): чому виключаємо лише $x=4$ , а не $x=-4$ ? $x^2-16=0$ дає $x=4$ і $x=-4$ . Але перетин перших двох умов — $[2;\,6)$ . Число $-4$ не належить цьому проміжку, тому воно і без виключення не входить у відповідь. Виключати треба лише ті точки, які потрапляють у вже знайдений перетин.

Пункт (2): $0{,}5x-1{,}5 > 0$ . Множимо на 2: $x-3 > 0$ , тобто $x > 3$ . Або: $0{,}5x > 1{,}5$ → $x > 3$ . Умова $x \geqslant 2$ поглинається умовою $x > 3$ , тому в остаточному записі залишається лише $3 < x < 8$ .

Порівняння (1) і (2). В обох задачах три доданки, але механізм обмежень різний: у (1) є «дірка» в точці $x=4$ , у (2) — суцільний відкритий проміжок. Вираз $\dfrac{1}{x^2-16}$ дає саме «дірку», а не виключення цілого проміжку.

Часті помилки. 1) У (1) виключити обидві точки $\pm4$ і записати $[2;\,4)\cup(4;\,6)$ з додатковим виключенням $-4$ — зайва робота, але не помилка. 2) У (2) написати $0{,}5x-1{,}5 \geqslant 0$ замість строгої нерівності. 3) Не помітити, що $x \geqslant 2$ поглинається $x > 3$ , і записати перетин як $[2;\,8) \cap (3;\,8) = (3;\,8)$ — правильно, але можна одразу.