Вправа 7.35 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 7.35. За яких значень $a$ обидва корені рівняння $x^2-(2a+1)x+(a^2+a)=0$ більші за число 3?
Розглянемо $f(x) = x^2-(2a+1)x+(a^2+a)$ — парабола з гілками вгору.
Щоб обидва корені були більші від $3$, потрібно:
$\begin{cases} D \geqslant 0, \\ f(3) > 0, \\ \dfrac{x_1+x_2}{2} > 3. \end{cases}$
Умова 1.
$D = (2a+1)^2-4(a^2+a) =$
$= 4a^2+4a+1-4a^2-4a = 1 \geqslant 0$
— виконується для всіх $a$.
Умова 2.
$f(3) = 9-3(2a+1)+(a^2+a) =$
$= 9-6a-3+a^2+a = a^2-5a+6 > 0$;
$(a-2)(a-3) > 0$;
$a < 2$ або $a > 3$.
Умова 3. За теоремою Вієта $x_1+x_2 = 2a+1$:
$\dfrac{2a+1}{2} > 3$;
$2a+1 > 6$;
$a > \dfrac{5}{2}$.
Знаходимо перетин умов 2 і 3:
$a > \dfrac{5}{2}$ і ($a < 2$ або $a > 3$).
Умова $a > \dfrac{5}{2}$ і $a < 2$ — порожньо. Умова $a > \dfrac{5}{2}$ і $a > 3$ дає $a > 3$.
Умови розташування обох коренів правіше від точки $t$
Для параболи $f(x) = x^2+px+q$ (гілки вгору) обидва корені більші від $t$ тоді й тільки тоді, коли:
1) $D \geqslant 0$;
2) $f(t) > 0$ (точка $t$ лівіше обох коренів);
3) $\dfrac{x_1+x_2}{2} > t$ (вісь симетрії правіше від $t$).
Знак квадратного тричлена
$(a-2)(a-3) > 0$ — добуток додатний, коли обидва множники одного знаку:
$a < 2$ (обидва від'ємні) або $a > 3$ (обидва додатні).
Порівняння з 7.34. В 7.34 корені менші від $t$ — умова $f(t)>0$ і вісь симетрії лівіше. Тут корені більші від $t$ — умова $f(t)>0$ та вісь симетрії правіше. Умова на $f(t)$ однакова в обох випадках: парабола з гілками вгору в точці $t$ має бути додатною.
Чому $D=1$ завжди? При розкритті $(2a+1)^2-4(a^2+a)$ всі члени з $a$ скорочуються — залишається стала $1$. Це означає, що рівняння завжди має два різних дійсних корені, незалежно від $a$.
Як знайти перетин у фіналі. Умова 3 дає $a > 2{,}5$. Умова 2 дає два проміжки: $(-\infty;\,2)$ і $(3;\,+\infty)$. Перетинаємо з $a > 2{,}5$: перший проміжок $(-\infty;\,2)$ не перетинається з $(2{,}5;\,+\infty)$; другий $(3;\,+\infty)$ перетинається і дає $(3;\,+\infty)$.
Перевірка. $a=4$: рівняння $x^2-9x+20=0$; корені $x=4$ і $x=5$ — обидва більші від 3 ✓. $a=3$: $f(3)=(3-2)(3-3)=0$ — не виконує $f(3)>0$ ✗.
Часті помилки. 1) Для умови «більші від $t$» написати умову 3 як $\dfrac{x_1+x_2}{2} < t$ (переплутати напрям). 2) Не знайти перетин умов 2 і 3, а об'єднати їх.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.