Вправа 7.38 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Умова
Вправа 7.38. Доведіть нерівність $x^2-8x+19 > 0$.
Розв'язання
Виділимо повний квадрат:
$x^2-8x+19 = x^2-8x+16+3 = (x-4)^2+3$.
$(x-4)^2 \geqslant 0$ для будь-якого $x$, тому $(x-4)^2+3 \geqslant 3 > 0$.
Відповідь
$x^2-8x+19 = (x-4)^2+3 \geqslant 3 > 0$ для всіх $x \in \mathbb{R}$. Доведено.
Виділення повного квадрата
$x^2+bx+c = \left(x+\dfrac{b}{2}\right)^2 + c - \dfrac{b^2}{4}$.
Квадрат будь-якого виразу невід'ємний: $(...)^2 \geqslant 0$.
Ключова ідея: якщо тричлен можна записати у вигляді $(x-a)^2 + k$ з $k > 0$, то він завжди більший за нуль. Дискримінант $D = 64-76 = -12 < 0$ також підтверджує, що коренів немає і тричлен знакосталий (додатний, бо старший коефіцієнт $>0$).
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.