Вправа 7.42 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 7.42. (Національна олімпіада США, 1979 р.) Розв'яжіть рівняння $x_1^4+x_2^4+x_3^4+\ldots+x_{14}^4=1599$ у цілих числах.
Доведемо, що рівняння не має розв'язків у цілих числах.
Розглянемо четверті степені за модулем 16.
Якщо $x$ парне: $x = 2k$, тоді $x^4 = 16k^4 \equiv 0 \pmod{16}$.
Якщо $x$ непарне: $x = 2k+1$, тоді $(2k+1)^2 = 4k^2+4k+1 = 4k(k+1)+1$. Оскільки $k(k+1)$ завжди парне, маємо $(2k+1)^2 \equiv 1 \pmod{8}$, тобто $(2k+1)^2 = 8m+1$ для деякого цілого $m$. Тоді:
$(2k+1)^4 = (8m+1)^2 = 64m^2+16m+1 \equiv 1 \pmod{16}$.
Отже:
$x^4 \equiv \begin{cases} 0 \pmod{16}, & \text{якщо } x \text{ парне,} \\ 1 \pmod{16}, & \text{якщо } x \text{ непарне.} \end{cases}$
Нехай серед $x_1, x_2, \ldots, x_{14}$ рівно $k$ непарних чисел. Тоді:
$x_1^4+x_2^4+\cdots+x_{14}^4 \equiv k \pmod{16}$.
Оскільки всього 14 чисел, маємо $0 \leqslant k \leqslant 14$.
Але $1599 = 16 \cdot 99 + 15$, тобто $1599 \equiv 15 \pmod{16}$.
Нам потрібно $k \equiv 15 \pmod{16}$, тобто $k = 15, 31, \ldots$ — але $k \leqslant 14$. Протиріччя.
Порівняння за модулем (mod)
$a \equiv b \pmod{m}$ означає, що $a$ і $b$ дають однаковий остаток при діленні на $m$.
Якщо $a \equiv r_1 \pmod{m}$ і $b \equiv r_2 \pmod{m}$, то $a+b \equiv r_1+r_2 \pmod{m}$.
Четверті степені за модулем 16
$x^4 \equiv 0 \pmod{16}$, якщо $x$ парне.
$x^4 \equiv 1 \pmod{16}$, якщо $x$ непарне.
Звідки взялася ідея розглядати mod 16? Четверті степені мають дуже обмежені залишки при діленні на деякі числа. Mod 16 виявляється «магічним» — всі парні дають 0, всі непарні дають 1. Це дозволяє звести задачу до підрахунку непарних членів.
Чому саме mod 16, а не mod 2 або mod 4? Mod 2: $x^4 \equiv 0$ або $1$ — те саме. Mod 4: непарні $x^4 \equiv 1$, парні $\equiv 0$ — теж працює, але $1599 \equiv 3 \pmod{4}$, а сума 14 одиниць дає $14 \equiv 2 \pmod{4}$... теж суперечність! Можна доводити і через mod 4 — але класичний спосіб через mod 16 є стандартним для таких задач.
Перевірка mod 4. $x^4 \equiv 0 \pmod{4}$ (парне) або $1 \pmod{4}$ (непарне). $1599 \equiv 3 \pmod{4}$. Сума 14 четвертих степенів $\equiv k \pmod{4}$, де $0 \leqslant k \leqslant 14$. Потрібно $k \equiv 3 \pmod{4}$, тобто $k = 3$ або $k = 7$ або $k = 11$ — ці значення допустимі. Тому mod 4 не дає протиріччя. Mod 16 — дає.
Це олімпіадна задача рівня США. На шкільних змаганнях достатньо знати ідею: «якщо нам потрібно довести, що рівняння не має цілих розв'язків — спробуй розглянути обидві частини за якимось модулем і знайти протиріччя».
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.