Вправа 8.24 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 8.24. Знайдіть область значень функції:
- $f(x) = \sqrt{x} - 5$;
- $g(x) = 3 - \sqrt{x}$;
- $t(x) = |x| + 2$;
- $g(x) = |x| - 3$;
- $f(x) = x^2 + 5$;
- $\varphi(x) = 9 - x^4$.
1) $f(x) = \sqrt{x} - 5$
$\sqrt{x} \geqslant 0$ для всіх $x \geqslant 0$, тому $f(x) = \sqrt{x} - 5 \geqslant -5$.
При $x = 0$: $f(0) = -5$ (мінімум досягається).
2) $g(x) = 3 - \sqrt{x}$
$\sqrt{x} \geqslant 0$, тому $g(x) = 3 - \sqrt{x} \leqslant 3$.
При $x = 0$: $g(0) = 3$ (максимум досягається); при $x \to +\infty$: $g(x) \to -\infty$.
3) $t(x) = |x| + 2$
$|x| \geqslant 0$ для всіх $x \in \mathbb{R}$, тому $t(x) = |x| + 2 \geqslant 2$.
При $x = 0$: $t(0) = 2$ (мінімум досягається).
4) $g(x) = |x| - 3$
$|x| \geqslant 0$, тому $g(x) = |x| - 3 \geqslant -3$.
При $x = 0$: $g(0) = -3$ (мінімум досягається).
5) $f(x) = x^2 + 5$
$x^2 \geqslant 0$ для всіх $x \in \mathbb{R}$, тому $f(x) = x^2 + 5 \geqslant 5$.
При $x = 0$: $f(0) = 5$ (мінімум досягається).
6) $\varphi(x) = 9 - x^4$
$x^4 \geqslant 0$, тому $\varphi(x) = 9 - x^4 \leqslant 9$.
При $x = 0$: $\varphi(0) = 9$ (максимум досягається); при $x \to \pm\infty$: $\varphi(x) \to -\infty$.
Область значень функції $E(f)$
Множина всіх значень, які приймає функція. На відміну від області визначення $D(f)$ — це множина «виходів», а не «входів».
Ключові нерівності
$\sqrt{x} \geqslant 0$ при $x \geqslant 0$.
$|x| \geqslant 0$ при $x \in \mathbb{R}$.
$x^2 \geqslant 0$ при $x \in \mathbb{R}$.
$x^4 \geqslant 0$ при $x \in \mathbb{R}$.
В усіх випадках мінімум $= 0$ досягається при $x = 0$.
Вплив зсуву на область значень
Якщо $h(x) \geqslant 0$, то:
$h(x) + c \geqslant c$ ⟹ $E = [c;\,+\infty)$.
$c - h(x) \leqslant c$ ⟹ $E = (-\infty;\,c]$.
Одна ідея — шість задач. В усіх пунктах використовується той самий прийом: знаходимо мінімальне або максимальне значення «базової» частини ($\sqrt{x}$, $|x|$, $x^2$, $x^4$) і додаємо до нього зсув.
Знак перед «базовою» частиною вирішує все. Якщо базова частина стоїть з «$+$» (пункти 1, 3, 4, 5) — вона дає нижню межу, область значень $[c;\,+\infty)$. Якщо з «$-$» (пункти 2, 6) — дає верхню межу, область $(-\infty;\,c]$.
Різниця між $\sqrt{x}$ і $|x|$, $x^2$: у пунктах 1 і 2 $D(f) = [0;\,+\infty)$ (корінь визначений лише при $x \geqslant 0$), тому область значень не тягнеться нескінченно вправо. У пунктах 3–6 $D(f) = \mathbb{R}$, але область значень однаково обмежена знизу або зверху через невід'ємність $|x|$, $x^2$, $x^4$.
Часті помилки: 1) Сплутати область визначення і область значень — $D(f) \neq E(f)$. 2) Написати $E(f) = (−5;\,+\infty)$ з круглою дужкою — мінімум $-5$ досягається при $x = 0$, тому дужка квадратна. 3) У пункті 6 написати $E = [−\infty;\,9]$ — біля $-\infty$ дужка завжди кругла.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.