Вправа 8.27 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 8.27. Знайдіть область визначення функції та побудуйте її графік:
- $f(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$;
- $g(x) = \dfrac{6x + 12}{x^2 + 2x}$;
- $\varphi(x) = \dfrac{x^2 + 4x + 4}{x + 2}$;
- $\psi(x) = \dfrac{|x| - 2}{|x| - 2}$.
1) $f(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$
$D(f)$: знаменник $x - 3 \neq 0$, тому $x \neq 3$.
Спрощуємо: $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$, тому
$f(x) = \dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x + 3$ при $x \neq 3$.
Графік — пряма $y = x + 3$ з виколотою точкою $(3;\,6)$.
2) $g(x) = \dfrac{6x + 12}{x^2 + 2x}$
$D(g)$: $x^2 + 2x = x(x+2) \neq 0$, тому $x \neq 0$ і $x \neq -2$.
Спрощуємо: $6x+12 = 6(x+2)$, тому
$g(x) = \dfrac{6(x+2)}{x(x+2)} = \dfrac{6}{x}$ при $x \neq -2$, $x \neq 0$.
Графік — гіпербола $y = \dfrac{6}{x}$ з виколотою точкою $(-2;\,-3)$.
3) $\varphi(x) = \dfrac{x^2 + 4x + 4}{x + 2}$
$D(\varphi)$: $x + 2 \neq 0$, тому $x \neq -2$.
Спрощуємо: $x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$, тому
$\varphi(x) = \dfrac{(x+2)^2}{x+2} = x + 2$ при $x \neq -2$.
Графік — пряма $y = x + 2$ з виколотою точкою $(-2;\,0)$.
4) $\psi(x) = \dfrac{|x| - 2}{|x| - 2}$
$D(\psi)$: $|x| - 2 \neq 0$, тому $|x| \neq 2$, тобто $x \neq 2$ і $x \neq -2$.
При $x \in D(\psi)$: чисельник дорівнює знаменнику, тому $\psi(x) = 1$.
Графік — горизонтальна пряма $y = 1$ з двома виколотими точками $(-2;\,1)$ і $(2;\,1)$.
Область визначення дробово-раціональної функції
$D(f)$ — всі $x$, при яких знаменник $\neq 0$. Прирівнюємо знаменник до нуля, знаходимо заборонені точки і виключаємо їх.
Скорочення дробу і виколота точка
Після скорочення спільного множника функція спрощується, але область визначення не змінюється. У точці, де було скорочення, на графіку ставимо порожнє коло ○.
Корисні формули розкладання
$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$; зокрема $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$.
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$; зокрема $x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$.
Винесення: $6x + 12 = 6(x+2)$; $x^2 + 2x = x(x+2)$.
Головна ідея всіх чотирьох пунктів: спочатку знайти заборонені точки (де знаменник = 0), потім скоротити дріб. Після скорочення графік — проста відома крива, але з «дірками» у заборонених точках.
Пункт 2) — дві різні виключені точки. $x = 0$ — це полюс гіперболи, там функція не визначена за природою. $x = -2$ — точка скорочення: при $x = -2$ функція мала б дорівнювати $6/(-2) = -3$, але нуль у знаменнику забороняє. Тому виколота точка саме $(-2;\,-3)$, а не якась інша.
Пункт 4) — найпростіший, але з підступом. Чисельник і знаменник однакові — їхній дріб дорівнює 1, але лише там, де вони обидва ненульові. При $x = \pm 2$ чисельник і знаменник обидва нульові — невизначеність $0/0$, функція не визначена.
Частота помилок: 1) Після скорочення забути поставити виколоту точку. 2) У пункті 2) вказати $D(g) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$, забувши про $x = -2$. 3) У пункті 4) написати $D(\psi) = \mathbb{R}$ — але при $x = \pm 2$ дріб $0/0$ невизначений.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.