Вправа 8.28 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер

Умова

Вправа 8.28. Знайдіть область визначення функції та побудуйте її графік:

$f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x + 1}$ ;
$g(x) = \dfrac{16 - 8x}{x^2 - 2x}$ .

Розв'язання

1) $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x + 1}$

$D(f)$ : $x + 1 \neq 0$ , тому $x \neq -1$ .

Відповідь

D(f) = (-\infty;\,-1) \cup (-1;\,+\infty)

$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ , тому

$f(x) = \dfrac{(x-1)(x+1)}{x+1} = x - 1$ при $x \neq -1$ .

Графік — пряма $y = x - 1$ з виколотою точкою $(-1;\,-2)$ .

Мал. до п. 1)

2) $g(x) = \dfrac{16 - 8x}{x^2 - 2x}$

$D(g)$ : $x^2 - 2x = x(x-2) \neq 0$ , тому $x \neq 0$ і $x \neq 2$ .

Відповідь

D(g) = (-\infty;\,0) \cup (0;\,2) \cup (2;\,+\infty)

$16 - 8x = -8(x - 2)$ , тому

$g(x) = \dfrac{-8(x-2)}{x(x-2)} = -\dfrac{8}{x}$ при $x \neq 0$ , $x \neq 2$ .

Графік — гіпербола $y = -\dfrac{8}{x}$ з виколотою точкою $(2;\,-4)$ .

Мал. до п. 2)

Область визначення дробово-раціональної функції

Прирівнюємо знаменник до нуля, знаходимо заборонені значення $x$ і виключаємо їх з $\mathbb{R}$ .

Скорочення і виколота точка

Після скорочення функція спрощується, але $D(f)$ не змінюється. У точці скорочення ставимо ○ на графіку.

Координата виколотої точки: підставляємо заборонене $x$ у спрощений вираз.

Різниця квадратів і винесення

$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ .

$16 - 8x = -8(x - 2)$ .

$x^2 - 2x = x(x - 2)$ .

Пункт 1) — та сама схема, що в 8.27 пп. 1) і 3). Чисельник розкладається через різницю квадратів, знаменник скорочується. Виколота точка: підставляємо $x = -1$ у спрощений вираз $x - 1$ : $-1 - 1 = -2$ . Точка $(-1;\,-2)$ .

Пункт 2) — гіпербола з від'ємним $k$ . Після спрощення $y = -8/x$ . При $k < 0$ гіпербола розташована в II і IV квадрантах (на відміну від звичної $y = 6/x$ в I і III). Виколота точка: $x = 2$ → $y = -8/2 = -4$ , тобто $(2;\,-4)$ — в IV квадранті.

Чому $x = 0$ не дає виколоту точку, а $x = 2$ дає? При $x = 0$ знаменник $x(x-2)$ звертається в нуль, але чисельник $-8(x-2)$ при $x=0$ дорівнює $16 eq 0$ — тут немає скорочення, це «справжній» полюс. При $x = 2$ і чисельник, і знаменник обертаються в нуль — відбувається скорочення, звідки виколота точка.

Часті помилки: 1) Забути виключити $x = 0$ з $D(g)$ — він не скорочується, але знаменник там нуль. 2) Поставити виколоту точку при $x = 0$ , а не при $x = 2$ . 3) Намалювати гіперболу в I і III квадрантах замість II і IV.