Вправа 8.31 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 8.31. Спростіть вираз $\left(\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}} - \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\right) : \sqrt{\dfrac{b}{a}}$.
Зводимо дроби у дужках до спільного знаменника $\sqrt{a}\,(\sqrt{a}+\sqrt{b})$:
$\dfrac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b}) - \sqrt{a} \cdot \sqrt{a}}{\sqrt{a}\,(\sqrt{a}+\sqrt{b})}$.
Чисельник: $(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b}) - a = (a - b) - a = -b$.
Дужки дорівнюють $\dfrac{-b}{\sqrt{a}\,(\sqrt{a}+\sqrt{b})}$.
Ділення на $\sqrt{\dfrac{b}{a}} = \dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$ замінюємо множенням на обернений:
$\dfrac{-b}{\sqrt{a}\,(\sqrt{a}+\sqrt{b})} \cdot \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} =$
$= \dfrac{-b \cdot \sqrt{a}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot (\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \dfrac{-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$.
Різниця квадратів
$(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b}) = a - b$.
Ділення дробів
$A : \dfrac{B}{C} = A \cdot \dfrac{C}{B}$.
$\sqrt{\dfrac{b}{a}} = \dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$.
Три кроки: (1) привести дроби у дужках до спільного знаменника; (2) спростити чисельник через різницю квадратів; (3) замінити ділення на множення і скоротити.
Ключове спрощення чисельника: $(a-b) - a = -b$. Вираз $(a-b)$ з'являється з $(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})$ — це і є різниця квадратів.
Перевірка числами: $a = 9$, $b = 4$. Відповідь: $-\sqrt{4}/(\sqrt{9}+\sqrt{4}) = -2/5$. Підраховуємо вихідний вираз: дужки $= (1 - 2/3) - 3/5 = 1/3 - 3/5 = 5/15 - 9/15 = -4/15$; ділимо на $\sqrt{4/9} = 2/3$: $(-4/15) : (2/3) = -4/15 \cdot 3/2 = -2/5$ ✓.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.