Вправа 8.32 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 8.32. Скільки коренів рівняння $x^3 + x^2 - 4x - 4 = 0$ є розв'язками нерівності $x^2 - 4 < 0$?
Розкладаємо ліву частину рівняння на множники:
$x^3 + x^2 - 4x - 4 = x^2(x+1) - 4(x+1) = (x+1)(x^2-4) = (x+1)(x-2)(x+2)$.
Корені рівняння: $x_1 = -2, \quad x_2 = -1, \quad x_3 = 2$.
Розв'язуємо нерівність $x^2 - 4 < 0$:
$x^2 < 4$; $-2 < x < 2$.
Перевіряємо кожен корінь:
$x_1 = -2$: не входить у $(-2;\,2)$ (строга нерівність).
$x_2 = -1$: $-2 < -1 < 2$ — входить.
$x_3 = 2$: не входить у $(-2;\,2)$ (строга нерівність).
Розкладання на множники групуванням
$ax + ay + bx + by = a(x+y) + b(x+y) = (a+b)(x+y)$.
Тут: $x^3 + x^2 - 4x - 4 = x^2(x+1) - 4(x+1) = (x^2-4)(x+1)$.
Квадратна нерівність $x^2 < a^2$
$x^2 < a^2 \Leftrightarrow -a < x < a$ при $a > 0$.
Зокрема: $x^2 < 4 \Leftrightarrow -2 < x < 2$.
Задача в двох частинах: спочатку знайти всі корені рівняння, потім перевірити кожен на нерівність. Не треба розв'язувати систему — досить підставити кожен корінь.
Чому $x = -2$ і $x = 2$ не входять? Нерівність строга: $x^2 - 4 < 0$, тобто $-2 < x < 2$ з круглими дужками. При $x = \pm 2$ маємо $x^2 - 4 = 0$, а не $< 0$.
Розкладання — ключовий крок. Групуємо: перші два доданки містять $x^2$, останні два — $(-4)$. Виносимо $x^2$ з перших, $(-4)$ з других — отримуємо спільний множник $(x+1)$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.