Вправа 8.37 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 8.37. Загадали деяке натуральне двоцифрове число. З правого боку до нього приписали таке саме число і від числа, що при цьому отримали, відняли квадрат числа, яке загадали. Потім цю різницю поділили на 4% від квадрата числа, яке загадали, унаслідок чого неповна частка й остача виявилися рівними відповідно половині числа, яке загадали, та числу, яке загадали. Знайдіть, яке число загадали.
Нехай $n$ — загадане двоцифрове число.
«Приписали справа те саме число»: нове число дорівнює $100n + n = 101n$.
«Відняли квадрат числа»: $101n - n^2$.
«4% від квадрата числа»: $0{,}04 \cdot n^2$.
При діленні $101n - n^2$ на $0{,}04n^2$ неповна частка дорівнює $\dfrac{n}{2}$, остача — $n$:
$101n - n^2 = \dfrac{n}{2} \cdot 0{,}04n^2 + n$.
$101n - n^2 - n = 0{,}02n^3$;
$n(100 - n) = 0{,}02n^3$.
Ділимо на $n \neq 0$:
$100 - n = 0{,}02n^2$;
$n^2 + 50n - 5000 = 0$.
$D = 50^2 + 4 \cdot 5000 = 2500 + 20000 = 22500$; $\sqrt{D} = 150$.
$n = \dfrac{-50 + 150}{2} = 50$. (Друге значення $n = \dfrac{-50-150}{2} = -100$ не є натуральним.)
Перевірка: $n = 50$; нове число $5050$; різниця $5050 - 2500 = 2550$; дільник $0{,}04 \cdot 2500 = 100$; $2550 = 25 \cdot 100 + 50$; частка $25 = 50/2$ ✓, остача $50 = n$ ✓.
Приписування числа справа
Якщо до числа $n$ приписати справа $k$-значне число $m$, отримаємо $n \cdot 10^k + m$.
Тут $n$ — двоцифрове, приписуємо те саме $n$ (двоцифрове, $k=2$): $100n + n = 101n$.
Ділення з остачею
$A = Q \cdot B + R$, де $0 \leqslant R < B$.
$Q$ — неповна частка, $R$ — остача.
Як читати умову — крок за кроком. «Приписали справа» — це $101n$, не $n \cdot n$ і не $2n$. «Відняли квадрат» — це мінус $n^2$. «4% від квадрата» — це $0{,}04n^2$, який стає дільником.
Ключовий запис: умова на частку і остачу — це рівняння ділення з остачею $A = Q \cdot B + R$. Підставляємо: $A = 101n - n^2$, $B = 0{,}04n^2$, $Q = n/2$, $R = n$.
Перевірка умови $R < B$: остача завжди менша за дільник. При $n=50$: $R = 50$, $B = 100$, $50 < 100$ ✓. Якби $R \geqslant B$ — рівняння не мало б сенсу.
Чому відкидаємо $n = -100$? За умовою $n$ — натуральне двоцифрове число, тобто $10 \leqslant n \leqslant 99$. Від'ємне значення не підходить.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.