Вправа 9.18 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 9.18. Скільки нулів має функція:
- $f(x) = x(x^2 - 1)\sqrt{|x| + 2}$;
- $g(x) = (x^2 - 4)\sqrt{|x| - 3}$?
1) $f(x) = x(x^2-1)\sqrt{|x|+2}$
$D(f)$: $|x| + 2 \geqslant 2 > 0$ для всіх $x$ — область визначення $\mathbb{R}$.
Оскільки $\sqrt{|x|+2} > 0$ при будь-якому $x$, добуток дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли $x(x^2-1) = 0$:
$x(x-1)(x+1) = 0$; $x = 0, \quad x = 1, \quad x = -1$.
2) $g(x) = (x^2-4)\sqrt{|x|-3}$
$D(g)$: $|x| - 3 \geqslant 0$ → $|x| \geqslant 3$ → $x \leqslant -3$ або $x \geqslant 3$.
Нуль добутку — коли хоча б один множник нуль:
$x^2 - 4 = 0$ → $x = \pm 2$, але $\pm 2 \notin D(g)$ — не підходять.
$\sqrt{|x|-3} = 0$ → $|x| = 3$ → $x = \pm 3$; обидва $\in D(g)$ ✓.
Перевірка: $g(\pm 3) = (9 - 4) \cdot 0 = 0$ ✓. Нулі: $x = -3$, $x = 3$.
Нуль добутку
$A \cdot B = 0 \Leftrightarrow A = 0$ або $B = 0$.
Всі знайдені $x$ треба перевіряти на входження в $D(f)$.
Коли корінь завжди додатній
Якщо підкореневий вираз $\geqslant c > 0$ для всіх $x \in D(f)$, то $\sqrt{\cdots} > 0$ і він не може бути нулем.
Тоді нулі функції $= $ нулі іншого множника.
Пункт 1) — корінь не може бути нулем. $|x|+2 \geqslant 2$ завжди, тому $\sqrt{|x|+2} \geqslant \sqrt{2} > 0$. Весь тягар «обнулення» лягає на поліном $x(x^2-1)$, який легко розкладається на три лінійні множники.
Пункт 2) — обидві можливості, але одна відпадає. Кандидати від полінома ($x=\pm 2$) не входять у $D(g)$ — область містить лише $|x|\geqslant 3$. Кандидати від кореня ($x=\pm 3$) входять і обнуляють увесь добуток.
Часті помилки: 1) Прирівняти $\sqrt{|x|+2}=0$ і «знайти» $|x|=-2$ — неможливо. 2) Не перевірити $D(g)$ і помилково вважати $x=\pm 2$ нулями.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.