Вправа 9.20 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 9.20. Побудуйте графік функції та опишіть її властивості:
1) $f(x) = \begin{cases} \dfrac{8}{x}, & \text{якщо } x < -2, \\ 2x, & \text{якщо } {-2} \leqslant x \leqslant 2, \\ \dfrac{8}{x}, & \text{якщо } x > 2; \end{cases}$
2) $g(x) = x + |x|$.
1)
Гілка 1: $y = \dfrac{8}{x}$ при $x < -2$ — гілка гіперболи в III квадранті. При $x = -2$: $y = -4$ (закрита точка).
Гілка 2: $y = 2x$ при $-2 \leqslant x \leqslant 2$ — відрізок прямої. При $x = -2$: $y = -4$; при $x = 2$: $y = 4$ (обидва закриті).
Гілка 3: $y = \dfrac{8}{x}$ при $x > 2$ — гілка гіперболи в I квадранті. При $x = 2$: $y = 4$ (закрита точка).
Функція неперервна: значення у точках стику збігаються.
$D(f)$: $\mathbb{R} \setminus \{0\}$
$E(f)$: $(-\infty;\,-4] \cup [4;\,+\infty) \cup (-4;\,4)$ = $\mathbb{R} \setminus \{0\}$
Нуль: $f(0)$ не існує; нулів немає
$f > 0$: $x \in (0;\,+\infty)$
$f < 0$: $x \in (-\infty;\,0)$
Зростає: на $(-\infty;\,-2]$, $[-2;\,2]$, $[2;\,+\infty)$
2) $g(x) = x + |x|$
Розкриваємо модуль за означенням:
При $x \geqslant 0$: $g(x) = x + x = 2x$.
При $x < 0$: $g(x) = x + (-x) = 0$.
Графік: при $x < 0$ — відрізок на осі $Ox$ ($y = 0$); при $x \geqslant 0$ — промінь прямої $y = 2x$.
$D(g)$: $\mathbb{R}$
$E(g)$: $[0;\,+\infty)$
Нулі: всі $x \leqslant 0$
$g > 0$: $x \in (0;\,+\infty)$
Зростає: на $[0;\,+\infty)$
Стала (= 0): на $(-\infty;\,0]$
Розкриття модуля
$|x| = \begin{cases} x, & x \geqslant 0, \\ -x, & x < 0. \end{cases}$
Тому $x + |x| = \begin{cases} 2x, & x \geqslant 0, \\ 0, & x < 0. \end{cases}$
Неперервність кусково-заданої функції
Перевіряємо збіг значень у точках стику. Тут $8/(-2) = 2 \cdot (-2) = -4$ і $8/2 = 2 \cdot 2 = 4$ — функція неперервна.
Пункт 1) — «плавний перехід». Гіперболи і пряма з'єднуються без розривів: у точках $x = \pm 2$ гіпербола $8/x$ і пряма $2x$ дають однакові значення ($\pm 4$). Графік виглядає як «загострена S-подібна крива».
Пункт 2) — «половинна» функція. $g(x) = x + |x|$ обнуляє від'ємну частину: ліворуч від нуля функція «заморожена» на $0$, праворуч — зростає зі швидкістю $2$. Зручно пам'ятати: $x + |x| = 2 \max(x, 0)$.
Нулі у пункті 2). Нулем є не одна точка, а ціла піввісь $(-\infty; 0]$ — функція тотожно дорівнює нулю на всіх від'ємних $x$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.