Вправа 9.7 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 9.7. Знайдіть нулі функції (якщо вони існують):
- $y = 5(x^2 + 1)$;
- $y = \sqrt{x - 2}$;
- $y = \sqrt{9 - x^2}$;
- $y = \sqrt{x^2 + 5}$.
1) $y = 5(x^2 + 1)$
$5(x^2 + 1) = 0 \Rightarrow x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = -1$.
Квадрат числа не може бути від'ємним — рівняння коренів не має.
2) $y = \sqrt{x - 2}$
$D(f) = [2;\,+\infty)$. Корінь дорівнює нулю, коли підкореневий вираз дорівнює нулю:
$x - 2 = 0$; $x = 2$. $x = 2 \in D(f)$ ✓.
3) $y = \sqrt{9 - x^2}$
$D(f) = [-3;\,3]$. Прирівнюємо до нуля:
$9 - x^2 = 0$; $x^2 = 9$; $x = \pm 3$. Обидва входять у $D(f)$ ✓.
4) $y = \sqrt{x^2 + 5}$
$x^2 + 5 = 0 \Rightarrow x^2 = -5$. Квадрат числа невід'ємний — рівняння коренів не має.
Нуль функції з коренем
$\sqrt{g(x)} = 0 \Leftrightarrow g(x) = 0$ (і $g(x) \geqslant 0$ — виконується автоматично).
Тобто нулі $y = \sqrt{g(x)}$ — це розв'язки $g(x) = 0$, що входять у $D(f)$.
Коли нулів немає
Якщо підкореневий вираз $g(x) > 0$ для всіх $x \in D(f)$ — нулів немає.
$x^2 + 1 \geqslant 1 > 0$ і $x^2 + 5 \geqslant 5 > 0$ для всіх $x$ — тому нулів немає в пп. 1) і 4).
Ключова ідея: $\sqrt{\text{щось}} = 0$ тільки коли «щось» $= 0$. Корінь не може бути від'ємним, тому $\sqrt{A} = 0 \Leftrightarrow A = 0$.
Пп. 1) і 4) — нулів немає. $x^2 \geqslant 0$ завжди, тому $x^2+1 \geqslant 1$ і $x^2+5 \geqslant 5$ — ніколи не дорівнюють нулю.
Пункт 3) — два нулі на межах $D(f)$. $\sqrt{9-x^2}$ визначений при $|x| \leqslant 3$, і саме на межах $x=\pm 3$ підкореневий вираз обертається в нуль. Геометрично: графік $y = \sqrt{9-x^2}$ — верхня півкола радіуса 3, яка торкається осі $Ox$ в точках $(\pm 3;\,0)$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.