Вправа 17 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 17. Виконайте дію:
- $\dfrac{2a^2 - 2a}{4a^2 - b^2} + \dfrac{b(a-1)}{b^2 - 4a^2}$;
- $\dfrac{x+3}{xy - x^2} + \dfrac{y+3}{xy - y^2}$;
- $\dfrac{x^2 + x - 3}{x^2 - 9} - \dfrac{3}{2x - 6} - 1$;
- $\dfrac{ax - 2x}{3y + 6} : \dfrac{4 - a^2}{y^2 + 4y + 4}$.
1) $\dfrac{2a^2 - 2a}{4a^2 - b^2} + \dfrac{b(a-1)}{b^2 - 4a^2}$
Зауважимо: $b^2 - 4a^2 = -(4a^2 - b^2)$, тому другий дріб змінює знак:
$\dfrac{2a^2 - 2a}{4a^2 - b^2} - \dfrac{b(a-1)}{4a^2 - b^2}$
Знаменники однакові. Розкладаємо: $4a^2 - b^2 = (2a-b)(2a+b)$, $2a^2-2a = 2a(a-1)$:
$\dfrac{2a(a-1) - b(a-1)}{(2a-b)(2a+b)} = \dfrac{(a-1)(2a-b)}{(2a-b)(2a+b)}$
2) $\dfrac{x+3}{xy - x^2} + \dfrac{y+3}{xy - y^2}$
Розкладаємо знаменники: $xy - x^2 = x(y-x)$, $xy - y^2 = y(x-y) = -y(y-x)$.
$\dfrac{x+3}{x(y-x)} - \dfrac{y+3}{y(y-x)}$
Спільний знаменник $xy(y-x)$:
$\dfrac{y(x+3) - x(y+3)}{xy(y-x)} = \dfrac{xy + 3y - xy - 3x}{xy(y-x)} = \dfrac{3(y-x)}{xy(y-x)}$
3) $\dfrac{x^2 + x - 3}{x^2 - 9} - \dfrac{3}{2x - 6} - 1$
Розкладаємо знаменники: $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$, $2x-6 = 2(x-3)$.
Спільний знаменник $2(x-3)(x+3)$. Зводимо:
$= \dfrac{2(x^2+x-3) - 3(x+3) - 2(x-3)(x+3)}{2(x-3)(x+3)}$
Числівник: $2x^2+2x-6 - 3x-9 - 2(x^2-9) = 2x^2+2x-6-3x-9-2x^2+18 =$
$= -x+3 = -(x-3).$
$\dfrac{-(x-3)}{2(x-3)(x+3)}$
4) $\dfrac{ax - 2x}{3y + 6} : \dfrac{4 - a^2}{y^2 + 4y + 4}$
Ділення замінюємо множенням на обернений дріб:
$= \dfrac{ax-2x}{3y+6} \cdot \dfrac{y^2+4y+4}{4-a^2}$
Розкладаємо: $ax-2x = x(a-2)$; $3y+6 = 3(y+2)$; $y^2+4y+4 = (y+2)^2$; $4-a^2 = (2-a)(2+a)$.
$\dfrac{x(a-2) \cdot (y+2)^2}{3(y+2) \cdot (2-a)(2+a)}$
Оскільки $\dfrac{a-2}{2-a} = -1$:
$\dfrac{-x(y+2)}{3(a+2)}$
Додавання і віднімання дробів зі спільним знаменником
$\dfrac{A}{D} \pm \dfrac{B}{D} = \dfrac{A \pm B}{D}$.
Якщо знаменники протилежні ($D$ і $-D$), один з дробів змінює знак: $\dfrac{B}{-D} = -\dfrac{B}{D}$.
Зведення до спільного знаменника
1) Розкласти кожен знаменник на множники.
2) Спільний знаменник — добуток усіх різних множників у найбільшому степені.
3) Кожен дріб домножити на той множник, якого йому не вистачає.
Ділення дробів
$\dfrac{A}{B} : \dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{D}{C} = \dfrac{AD}{BC}$.
Ділення замінюється множенням на обернений дріб.
Корисні формули скороченого множення
$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Корисний наслідок для скорочення: $\dfrac{a-b}{b-a} = -1$.
Знак протилежних знаменників (пункт 1). $b^2 - 4a^2$ і $4a^2 - b^2$ — це один і той самий вираз із протилежними знаками. Замість того щоб шукати спільний знаменник окремо, достатньо «перенести» мінус у числівник одного дробу. Цю операцію варто помічати першою — вона часто зустрічається.
Чому в (2) числівники так зручно скорочуються. Після зведення до СЗ у числівнику $y(x+3) - x(y+3)$. Розкриваємо: $xy + 3y - xy - 3x = 3(y-x)$. Доданок $xy$ з'явився в обох частинах і скоротився — саме тому відповідь така компактна. Уважно відстежуй знаки при розкритті.
Одиниця як дріб у (3). Число $1$ потрібно записати як дріб зі спільним знаменником: $1 = \dfrac{2(x-3)(x+3)}{2(x-3)(x+3)}$. Зазвичай школярі забувають умножити числівник $1$ на повний СЗ і отримують неправильний числівник.
Хитрість з $(a-2)/(2-a) = -1$ у (4). Це частина ширшого правила: $\dfrac{A-B}{B-A} = -1$ для будь-яких $A \neq B$. Тут $a - 2 = -(2 - a)$, тому частка дорівнює $-1$. Якщо не помітити цього — вийде довше скорочення.
Часті помилки. 1) В (1): не змінити знак дробу при $b^2 - 4a^2 \to -(4a^2 - b^2)$. 2) В (3): не помножити число $1$ на спільний знаменник. 3) В (4): не розкласти $4 - a^2$ як різницю квадратів, а лишити нерозкладеним — тоді $(a-2)$ не скорочується.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.