Вправа 18 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 18. Виконайте дію:
- $\dfrac{3x(x-1)}{9x^2 - y^2} + \dfrac{xy - y}{y^2 - 9x^2}$;
- $\dfrac{a-5}{ab - a^2} - \dfrac{5-b}{ab - b^2}$;
- $\dfrac{x^2+x-2}{x^2-4} - \dfrac{2}{3x-6} - 1$;
- $\dfrac{m^2-9}{a^2+6a+9} : \dfrac{12-4m}{ap+3p}$.
1) $\dfrac{3x(x-1)}{9x^2 - y^2} + \dfrac{xy - y}{y^2 - 9x^2}$
$y^2 - 9x^2 = -(9x^2 - y^2)$, тому другий дріб змінює знак:
$= \dfrac{3x(x-1) - y(x-1)}{9x^2 - y^2} = \dfrac{(x-1)(3x-y)}{(3x-y)(3x+y)}$
2) $\dfrac{a-5}{ab - a^2} - \dfrac{5-b}{ab - b^2}$
$ab - a^2 = a(b-a)$; $\quad ab - b^2 = b(a-b) = -b(b-a)$.
$= \dfrac{a-5}{a(b-a)} + \dfrac{5-b}{b(b-a)}$
Спільний знаменник $ab(b-a)$:
$= \dfrac{b(a-5) + a(5-b)}{ab(b-a)} = \dfrac{ab - 5b + 5a - ab}{ab(b-a)} = \dfrac{5(a-b)}{ab(b-a)}$
$\dfrac{a-b}{b-a} = -1$, тому:
3) $\dfrac{x^2+x-2}{x^2-4} - \dfrac{2}{3x-6} - 1$
$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$; $\quad 3x-6 = 3(x-2)$. СЗ $= 3(x-2)(x+2)$.
Числівник: $3(x^2+x-2) - 2(x+2) - 3(x-2)(x+2)$
$= 3x^2+3x-6 - 2x-4 - 3(x^2-4) = 3x^2+x-10 - 3x^2+12 = x+2$
4) $\dfrac{m^2-9}{a^2+6a+9} : \dfrac{12-4m}{ap+3p}$
$= \dfrac{m^2-9}{a^2+6a+9} \cdot \dfrac{ap+3p}{12-4m}$
$m^2-9 = (m-3)(m+3)$; $\quad a^2+6a+9 = (a+3)^2$; $\quad ap+3p = p(a+3)$; $\quad 12-4m = 4(3-m)$.
$= \dfrac{(m-3)(m+3) \cdot p(a+3)}{(a+3)^2 \cdot 4(3-m)}$
$\dfrac{m-3}{3-m} = -1$:
$= \dfrac{-(m+3) \cdot p}{(a+3) \cdot 4}$
Протилежні знаменники
Якщо знаменники відрізняються лише знаком ($D$ і $-D$), переносимо мінус у числівник:
$\dfrac{A}{D} + \dfrac{B}{-D} = \dfrac{A - B}{D}$.
Зведення до спільного знаменника
1) Розкласти знаменники. 2) СЗ — добуток усіх різних множників. 3) Кожен числівник помножити на доповнюючий множник.
Ділення дробів та корисне скорочення
$\dfrac{A}{B} : \dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{D}{C}$.
$\dfrac{A - B}{B - A} = -1$ (при $A \neq B$).
Формули скороченого множення
$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Пункт 1 — паралель з вправою 17(1). Та сама ситуація: $y^2 - 9x^2 = -(9x^2 - y^2)$. Щойно замінив знак другого дробу — знаменники зрівнялися, і числівник одразу розкладається на множники через спільний $(x-1)$. Такий прийом варто шукати в першу чергу.
Пункт 2 — два протилежні знаменники одночасно. $ab - a^2 = a(b-a)$ і $ab - b^2 = -b(b-a)$ — обидва містять $(b-a)$, але з різними знаками. Після розкладання СЗ стає $ab(b-a)$, а в числівнику $ab$ скорочується повністю.
Пункт 3 — одиниця як дріб. $1 = \dfrac{3(x-2)(x+2)}{3(x-2)(x+2)}$. Числівник $3(x^2+x-2)$ не варто розкладати на множники раніше часу — зручніше відразу розкривати дужки і зводити подібні. Зауваж, що $x^2 + x - 2$ не скорочується зі знаменником $(x-2)(x+2)$ до ділення на $3$ — тому відповідь не спрощується через чисельник.
Пункт 4 — порівняй з 17(4). Та сама структура: ділення, потім розкладання, потім $\dfrac{m-3}{3-m} = -1$. У таких прикладах завжди шукай пари виду «вираз» і «той самий вираз зі зміненим знаком» — вони дають $\pm 1$ при скороченні.
Часті помилки. 1) В (2): не помітити, що $ab - b^2 = -b(b-a)$, і помилитися зі знаком при зведенні до СЗ. 2) В (3): при розкритті $-3(x^2-4)$ не розподілити мінус: отримати $-3x^2 - 12$ замість $-3x^2 + 12$. 3) В (4): скоротити $(a+3)^2$ на $p(a+3)$ і залишити $(a+3)$ в числівнику замість знаменника.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.