Вправа 19 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 19. 7 липня 2024 року українська легкоатлетка Ярослава Магучіх установила новий світовий рекорд зі стрибків у висоту — 2 м 10 см.
Знайдіть значення виразу $\left(\dfrac{a}{a+6} + \dfrac{a^2+36}{a^2-36} - \dfrac{a}{a-6}\right) : \dfrac{a-6}{a^2+12a+36}$, якщо $a = 31$, відтак дізнаєтеся, скільки років тримався попередній світовий рекорд у цій дисципліні.
Спростимо вираз при довільному $a$, потім підставимо $a = 31$.
Розкладаємо знаменники: $a^2 - 36 = (a-6)(a+6)$; $\quad a^2+12a+36 = (a+6)^2$.
Зводимо дужку до СЗ $(a-6)(a+6)$:
$\dfrac{a(a-6) + (a^2+36) - a(a+6)}{(a-6)(a+6)} =$
$= \dfrac{a^2-6a+a^2+36-a^2-6a}{(a-6)(a+6)} = $
$= \dfrac{a^2-12a+36}{(a-6)(a+6)}$
$a^2 - 12a + 36 = (a-6)^2$, тому дужка дорівнює $\dfrac{(a-6)^2}{(a-6)(a+6)} = \dfrac{a-6}{a+6}$.
Виконуємо ділення:
$\dfrac{a-6}{a+6} : \dfrac{a-6}{(a+6)^2} = \dfrac{a-6}{a+6} \cdot \dfrac{(a+6)^2}{a-6} = a+6$
При $a = 31$: $\quad a + 6 = \mathbf{37}$.
Зведення до спільного знаменника
СЗ для знаменників $(a+6)$, $(a-6)(a+6)$, $(a-6)$ — це $(a-6)(a+6)$.
Кожен числівник домножується на той множник, якого не вистачає знаменнику.
Формули скороченого множення
$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Ділення дробів
$\dfrac{A}{B} : \dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{D}{C}$.
Стратегія: спочатку спростити, потім підставити. Підставляти $a = 31$ одразу — величезні числа і висока ймовірність арифметичної помилки. Натомість спрощення до $a + 6$ — це два рядки роботи, а підстановка стає тривіальною.
Ключовий момент — розпізнати $(a-6)^2$ у числівнику. Після зведення в дужці отримуємо $a^2 - 12a + 36$. Це повний квадрат: $12 = 2 \cdot 6$, $36 = 6^2$. Якщо не помітити — доведеться шукати корені квадратного рівняння. Але коли знаменник містить $(a-6)$, підказка лежить на поверхні.
Ділення на дріб = множення на обернений. Після спрощення дужки маємо $\dfrac{a-6}{a+6}$, а ділимо на $\dfrac{a-6}{(a+6)^2}$. Перевернутий дільник — $\dfrac{(a+6)^2}{a-6}$. $(a-6)$ і $(a+6)$ скорочуються — залишається просто $a+6$.
Цікавий факт. Рекорд Стефки Костадінової (2 м 09 см) був встановлений у Римі 30 серпня 1987 року і протримався 37 років — найдовше серед усіх легкоатлетичних рекордів світу серед жінок на той момент.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.