Вправа 20 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 20. Доведіть тотожність:
$\left(\dfrac{x}{x-1} - \dfrac{x}{x+1} - \dfrac{x^2+1}{1-x^2}\right) \cdot \dfrac{x-1}{x^2+2x+1} = \dfrac{1}{x+1}$.
Перетворюємо ліву частину (ЛЧ).
Зауважимо: $1 - x^2 = -(x^2-1) = -(x-1)(x+1)$, тому третій дріб змінює знак:
$\dfrac{x^2+1}{1-x^2} = -\dfrac{x^2+1}{(x-1)(x+1)}$
Зводимо дужку до СЗ $(x-1)(x+1)$:
$\dfrac{x(x+1) - x(x-1) + (x^2+1)}{(x-1)(x+1)} =$
$= \dfrac{x^2+x - x^2+x + x^2+1}{(x-1)(x+1)} =$
$= \dfrac{x^2+2x+1}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{(x+1)^2}{(x-1)(x+1)}$
Множимо на $\dfrac{x-1}{x^2+2x+1} = \dfrac{x-1}{(x+1)^2}$:
$\dfrac{(x+1)^2}{(x-1)(x+1)} \cdot \dfrac{x-1}{(x+1)^2} = \dfrac{1}{x+1}$
ЛЧ = ПЧ. Тотожність доведена. □
Метод доведення тотожності
Перетворюємо одну частину (зазвичай складнішу — ліву) до вигляду другої. Права частина залишається незмінною.
Формули скороченого множення
$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$.
$(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$.
Протилежний знаменник
$1 - x^2 = -(x^2 - 1) = -(x-1)(x+1)$, тому $\dfrac{A}{1-x^2} = -\dfrac{A}{(x-1)(x+1)}$.
З чого починати доведення. Дивись на праву частину — $\dfrac{1}{x+1}$ — і розумій, що маєш отримати. Потім шукай у лівій частині ті скорочення, які до цього приведуть. Тут підказка — $(x+1)^2$ у числівнику дужки і $(x+1)^2$ у знаменнику множника.
Ключ — знак у третьому дробі. $\dfrac{x^2+1}{1-x^2}$ з мінусом дає $+\dfrac{x^2+1}{(x-1)(x+1)}$, і тоді в числівнику зібраного дробу виникає $(x^2+2x+1)$ — повний квадрат. Якщо знак переплутати — числівник не розкладеться і доведення зайде в глухий кут.
Часті помилки. 1) Змінити обидві частини одночасно — це не доведення, а перевірка. 2) Забути, що $1-x^2 = -(x-1)(x+1)$, і взяти СЗ неправильно. 3) Не помітити $(x^2+2x+1) = (x+1)^2$ і не скоротити з множником $\dfrac{x-1}{(x+1)^2}$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.