Вправа 23 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 23. Обчисліть, використовуючи властивості степенів:
- $(4^{-3})^7 \cdot (((4^{-2})^3))^{-4}$;
- $\dfrac{10^{-5} \cdot (10^{-7})^4}{(10^{-11})^3}$;
- $4^{-5} \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-8}$;
- $243^{-2} \cdot (3^{-7})^{-2}$;
- $\dfrac{(-5)^{-4} \cdot 25^{-2}}{(-125)^{-3}}$;
- $0{,}01^{-3} \cdot 10^{-8}$.
1) $(4^{-3})^7 \cdot (((4^{-2})^3))^{-4}$
$= 4^{-21} \cdot 4^{(-2)\cdot 3 \cdot(-4)} = 4^{-21} \cdot 4^{24} = 4^3$
2) $\dfrac{10^{-5} \cdot (10^{-7})^4}{(10^{-11})^3}$
$= \dfrac{10^{-5} \cdot 10^{-28}}{10^{-33}} = \dfrac{10^{-33}}{10^{-33}} = 10^0$
3) $4^{-5} \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-8}$
$4^{-5} = (2^2)^{-5} = 2^{-10}$; $\quad \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-8} = 2^8$.
$= 2^{-10} \cdot 2^8 = 2^{-2}$
4) $243^{-2} \cdot (3^{-7})^{-2}$
$243 = 3^5$, тому $243^{-2} = 3^{-10}$; $\quad (3^{-7})^{-2} = 3^{14}$.
$= 3^{-10} \cdot 3^{14} = 3^4$
5) $\dfrac{(-5)^{-4} \cdot 25^{-2}}{(-125)^{-3}}$
$(-5)^{-4} = 5^{-4}$; $\quad 25^{-2} = (5^2)^{-2} = 5^{-4}$; $\quad (-125)^{-3} = (-5^3)^{-3} = -5^{-9}$.
$= \dfrac{5^{-4} \cdot 5^{-4}}{-5^{-9}} = \dfrac{5^{-8}}{-5^{-9}} = -5^{-8-(-9)} = -5^1$
6) $0{,}01^{-3} \cdot 10^{-8}$
$0{,}01 = 10^{-2}$, тому $0{,}01^{-3} = 10^6$.
$= 10^6 \cdot 10^{-8} = 10^{-2}$
Властивості степенів
$(a^m)^n = a^{mn}$.
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$; $\quad \left(\dfrac{1}{a}\right)^{-n} = a^n$.
Знак від'ємної основи
$(-a)^n = a^n$, якщо $n$ — парне; $\quad (-a)^n = -a^n$, якщо $n$ — непарне.
Зручні степені
$243 = 3^5$; $\quad 125 = 5^3$; $\quad 25 = 5^2$; $\quad 0{,}01 = 10^{-2}$.
Головний прийом — зводити все до однієї основи. У пп. 3–5 є різні основи (4 і 2; 243 і 3; −5, 25 і −125), але всі вони — степені однієї: 2, 3 або 5 відповідно. Щойно виразив усе через одну основу — далі лише додавання показників.
Пункт 5: знак від'ємної основи. $(-5)^{-4} = 5^{-4}$, бо $-4$ — парне. $(-125)^{-3} = -(125)^{-3} = -5^{-9}$, бо $-3$ — непарне. Мінус «виживає» лише при непарному показнику — він і дає знак мінус у відповіді.
Пункт 1: три скобки. Розбираємо зсередини: $(4^{-2})^3 = 4^{-6}$, потім $(4^{-6})^{-4} = 4^{24}$. Можна й одразу: $(-2)\cdot 3 \cdot (-4) = 24$. Головне — множити показники послідовно.
Часті помилки. 1) При зведенні до СЗ у дробі (п. 2) скласти показники замість відняти: $-33 - (-33) = 0$, а не $-33 + (-33)$. 2) У п. 5 не врахувати знак $(-125)^{-3} = -5^{-9}$ і отримати $+5$ замість $-5$. 3) У п. 3 забути, що $4 = 2^2$, і не привести до спільної основи.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.