Вправа 24 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 24. Обчисліть, використовуючи властивості степенів:
- $(5^{-2})^5 \cdot ((5^{-1})^{-3})^3$;
- $\dfrac{7^{-4} \cdot (7^{-2})^5}{(7^3)^{-5}}$;
- $\left(\dfrac{1}{6}\right)^{-7} \cdot 36^{-4}$;
- $16^{-5} \cdot (2^{-3})^{-7}$;
- $\dfrac{(-3)^{-5} \cdot 27^{-3}}{(-9)^{-6}}$;
- $0{,}2^{-8} \cdot 25^{-4}$.
1) $(5^{-2})^5 \cdot ((5^{-1})^{-3})^3$
$= 5^{-10} \cdot 5^{(-1)\cdot(-3)\cdot 3} = 5^{-10} \cdot 5^{9} = 5^{-1}$
2) $\dfrac{7^{-4} \cdot (7^{-2})^5}{(7^3)^{-5}}$
$= \dfrac{7^{-4} \cdot 7^{-10}}{7^{-15}} = 7^{-4+(-10)-(-15)} = 7^{1}$
3) $\left(\dfrac{1}{6}\right)^{-7} \cdot 36^{-4}$
$\left(\dfrac{1}{6}\right)^{-7} = 6^7$; $\quad 36^{-4} = (6^2)^{-4} = 6^{-8}$.
$= 6^7 \cdot 6^{-8} = 6^{-1}$
4) $16^{-5} \cdot (2^{-3})^{-7}$
$16^{-5} = (2^4)^{-5} = 2^{-20}$; $\quad (2^{-3})^{-7} = 2^{21}$.
$= 2^{-20} \cdot 2^{21} = 2^1$
5) $\dfrac{(-3)^{-5} \cdot 27^{-3}}{(-9)^{-6}}$
$(-3)^{-5} = -3^{-5}$ (непарний степінь); $\quad 27^{-3} = 3^{-9}$; $\quad (-9)^{-6} = 3^{-12}$ (парний).
$= \dfrac{-3^{-5} \cdot 3^{-9}}{3^{-12}} = -3^{-5+(-9)-(-12)} = -3^{-2}$
6) $0{,}2^{-8} \cdot 25^{-4}$
$0{,}2 = \dfrac{1}{5} = 5^{-1}$, тому $0{,}2^{-8} = 5^8$; $\quad 25^{-4} = (5^2)^{-4} = 5^{-8}$.
$= 5^8 \cdot 5^{-8} = 5^0$
Властивості степенів
$(a^m)^n = a^{mn}$.
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$; $\quad \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$; $\quad \left(\dfrac{1}{a}\right)^{-n} = a^n$.
Знак від'ємної основи
$(-a)^n = a^n$ при парному $n$; $\quad (-a)^n = -a^n$ при непарному $n$.
Зручні степені
$16 = 2^4$; $\quad 27 = 3^3$; $\quad 36 = 6^2$; $\quad 0{,}2 = 5^{-1}$.
Вправа 24 — структурний близнюк вправи 23. Той самий прийом: виразити всі основи через одне просте число і скласти показники. Якщо вправа 23 вже зрозуміла — тут лише нові числа.
Пункт 5 — два джерела знака мінус. $(-3)^{-5}$ дає мінус (непарне), $(-9)^{-6}$ — плюс (парне). У чисельнику мінус є, у знаменнику — ні. Ділення не змінює знак. Відповідь від'ємна.
Пункт 6 — «красива» відповідь 1. $0{,}2 = 1/5 = 5^{-1}$, тому $0{,}2^{-8} = 5^8$. А $25^{-4} = 5^{-8}$. Показники рівні за модулем і протилежні за знаком — результат $5^0 = 1$. Такі «красиві» збіги не випадкові: укладачі спеціально добирають числа.
Часті помилки. 1) У п. 1 перемножити $(-2)\cdot(-3)\cdot 3$ неправильно і отримати $+18$ замість $+9$. 2) У п. 5 вважати $(-9)^{-6}$ від'ємним — але $-6$ не робить результат від'ємним, основа $(-9)$ у парному степені завжди додатна. 3) У п. 6 не розпізнати $0{,}2 = 5^{-1}$ і намагатися рахувати десятковими дробами.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.