Вправа 25 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 25. Доведіть, що значення виразу $\dfrac{3ab - a^2}{a^2 - 9b^2} - \dfrac{3b^2}{ab + 3b^2}$ не залежить від значення змінних.
Розкладаємо кожен знаменник і чисельник на множники:
$3ab - a^2 = a(3b - a) = -a(a-3b)$;
$a^2 - 9b^2 = (a-3b)(a+3b)$;
$ab + 3b^2 = b(a+3b)$.
Підставляємо:
$\dfrac{-a(a-3b)}{(a-3b)(a+3b)} - \dfrac{3b^2}{b(a+3b)} =$
$= -\dfrac{a}{a+3b} - \dfrac{3b}{a+3b} =$
$= -\dfrac{a + 3b}{a+3b} = -1$
Значення виразу дорівнює $-1$ за будь-яких допустимих $a$ і $b$, тобто не залежить від змінних.
Як довести незалежність від змінних
Спростити вираз алгебраїчно до константи (числа без змінних). Якщо результат — число, доведення завершене.
Формули скороченого множення
$a^2 - 9b^2 = (a-3b)(a+3b)$.
$3ab - a^2 = a(3b-a) = -a(a-3b)$.
Стратегія. Бачимо два дроби з різними знаменниками. Мета — привести до спільного знаменника $(a+3b)$. Ключ у тому, що після розкладання чисельника першого дробу множник $(a-3b)$ скорочується зі знаменником — і обидва дроби отримують однаковий знаменник без додаткового зведення.
Знак у чисельнику. $3ab - a^2 = a(3b - a)$. Але зручніше записати як $-a(a-3b)$, щоб одразу скоротити з $(a-3b)$ у знаменнику. Уважно стеж за знаком мінуса.
ОДЗ. Вираз не визначений при $a = 3b$, $a = -3b$ та $b = 0$ (знаменники обертаються в нуль). Фраза «за будь-яких допустимих значень» саме це і означає.
Часті помилки. 1) Забути мінус при виносі: $3ab - a^2 = a(3b-a)$, але написати $a(3b+a)$. 2) Не скоротити $(a-3b)$ і намагатися зводити до СЗ із двома різними знаменниками.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.