Вправа 29 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 29.
1) Знайдіть цілі корені рівняння $\dfrac{8}{|x|} = 6 - x$, використовуючи графічний спосіб розв'язування.
2) Спробуйте розв'язати рівняння аналітично та знайти його нецілий корінь.
1) Графічний спосіб
Будуємо графіки $y_1 = \dfrac{8}{|x|}$ і $y_2 = 6 - x$. Абсциси точок перетину — корені рівняння.
$y_1 = \dfrac{8}{|x|}$ — парна функція (симетрична відносно осі $Oy$); при $x > 0$ це гілка гіперболи $y = 8/x$, при $x < 0$ — її дзеркальне відображення. $y_2 = 6 - x$ — пряма з кутовим коефіцієнтом $-1$.
З графіка видно три точки перетину. Цілі абсциси: $x = 2$ та $x = 4$.
2) Аналітичний розв'язок
Випадок $x > 0$: $\dfrac{8}{x} = 6 - x$; $\quad 8 = x(6-x)$; $\quad x^2 - 6x + 8 = 0$.
$(x-2)(x-4) = 0$; $\quad x_1 = 2$, $x_2 = 4$.
Випадок $x < 0$: $|x| = -x$, тому $\dfrac{8}{-x} = 6 - x$; $\quad 8 = -x(6-x)$; $\quad x^2 - 6x - 8 = 0$.
$D = 36 + 32 = 68$; $\quad x = \dfrac{6 \pm \sqrt{68}}{2} = 3 \pm \sqrt{17}$.
З двох коренів від'ємний лише $x_3 = 3 - \sqrt{17} \approx -1{,}12$.
Графічний метод розв'язання рівнянь
Рівняння $f(x) = g(x)$ розв'язується як пошук абсцис точок перетину графіків $y = f(x)$ і $y = g(x)$.
Модуль у знаменнику — розбір на випадки
$\dfrac{8}{|x|} = \begin{cases} \dfrac{8}{x}, & x > 0, \\ \dfrac{8}{-x}, & x < 0. \end{cases}$
Дискримінант
$x^2 + px + q = 0$: $\quad D = p^2 - 4q$, $\quad x = \dfrac{-p \pm \sqrt{D}}{2}$.
Чому графіків три перетини. При $x > 0$ гіпербола спадає від $+\infty$ до $0$ — перетинає похилу пряму двічі. При $x < 0$ гілка $y = -8/x$ теж спадає від $+\infty$ до $0$, але пряма $y = 6-x$ при від'ємних $x$ набуває великих значень ($>6$) — є ще один перетин.
Чому другий корінь $3 + \sqrt{17}$ відкидається. $3 + \sqrt{17} \approx 7{,}12 > 0$, а ми розглядали випадок $x < 0$. Він не задовольняє умову гілки.
Графічно vs аналітично. Графік дає цілі корені одразу — на сітці видно $x = 2$ і $x = 4$. Нецілий корінь $\approx -1{,}12$ на графіку лише вказує, що він є, але точного значення не дає — тут потрібен аналітичний розрахунок.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.