Вправа 50 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 50. Скоротіть дріб:
- $\dfrac{y - 36}{y - 6\sqrt{y}}$;
- $\dfrac{a - 6\sqrt{a}\sqrt{b} + 9b}{a - 9b}$;
- $\dfrac{\sqrt{26} + 13}{2 + \sqrt{26}}$.
1) $\dfrac{y - 36}{y - 6\sqrt{y}} =$
$= \dfrac{(\sqrt{y} - 6)(\sqrt{y} + 6)}{\sqrt{y}(\sqrt{y} - 6)}$
2) $\dfrac{a - 6\sqrt{a}\sqrt{b} + 9b}{a - 9b} =$
$= \dfrac{(\sqrt{a} - 3\sqrt{b})^2}{(\sqrt{a} - 3\sqrt{b})(\sqrt{a} + 3\sqrt{b})}$
3) $\dfrac{\sqrt{26}+13}{2+\sqrt{26}} =$
Спільного кореня немає — множимо на спряжений вираз $\dfrac{\sqrt{26}-2}{\sqrt{26}-2}$:
$= \dfrac{(\sqrt{26}+13)(\sqrt{26}-2)}{(\sqrt{26}+2)(\sqrt{26}-2)} =$
$= \dfrac{26 - 2\sqrt{26} + 13\sqrt{26} - 26}{26 - 4} =$
$= \dfrac{11\sqrt{26}}{22}$
Раціоналізація знаменника
Якщо знаменник має вигляд $a + \sqrt{b}$, множимо чисельник і знаменник на спряжений вираз $a - \sqrt{b}$:
$(a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b}) = a^2 - b$.
Формули скороченого множення
$(\sqrt{a}-3\sqrt{b})^2 = a - 6\sqrt{ab} + 9b$.
$(\sqrt{a}-3\sqrt{b})(\sqrt{a}+3\sqrt{b}) = a - 9b$.
Пункт 3 відрізняється від 1 і 2. Там чисельник і знаменник розкладались на спільні множники. Тут $\sqrt{26}+13$ і $2+\sqrt{26}$ не мають спільного кореня — тому використовуємо раціоналізацію (множення на спряжений). Це стандартний прийом для дробів виду $\frac{A}{a+\sqrt{b}}$.
Чому спряжений дає ціле число в знаменнику. $(2+\sqrt{26})(2-\sqrt{26}) = 4 - 26 = -22$. Але зручніше брати $(\sqrt{26}+2)(\sqrt{26}-2) = 26 - 4 = 22$ — тоді знаменник додатний.
Часті помилки. 1) У п. 1 не помітити, що $y - 36 = (\sqrt{y}-6)(\sqrt{y}+6)$, і намагатися спростити без розкладання. 2) У п. 3 після розкриття дужок в чисельнику не зібрати подібні: $-2\sqrt{26}+13\sqrt{26} = 11\sqrt{26}$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.