Вправа 52 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер

Умова

Вправа 52. Розв'яжіть графічно рівняння:

$x^2 = -2x$;
$\\sqrt{x} = 5 - 4x$.

Розв'язання

1) $x^2 = -2x$

Будуємо $y_1 = x^2$ (парабола) і $y_2 = -2x$ (пряма).

Точки перетину: $(0;\\,0)$ і $(-2;\\,4)$

Відповідь

$x = 0$, $x = -2$

2) $\\sqrt{x} = 5 - 4x$

Будуємо $y_1 = \\sqrt{x}$ і $y_2 = 5 - 4x$.

Єдина точка перетину: $(1;\\,1)$

Відповідь

$x = 1$

Графічний метод

Будуємо $y_1 = f(x)$ і $y_2 = g(x)$. Абсциси точок перетину — корені рівняння $f(x) = g(x)$.

Пункт 1. $x^2 = -2x$ можна розв'язати і аналітично: $x^2 + 2x = 0$, $x(x+2) = 0$, $x = 0$ або $x = -2$. Графічний метод підтверджує: дві точки перетину параболи і прямої.

Пункт 2 — аналітична перевірка. $\\sqrt{x} = 5 - 4x$; підносимо до квадрату (ОДЗ: $x \\geqslant 0$ і $5 - 4x \\geqslant 0$, тобто $x \\leqslant 1{,}25$): $x = (5-4x)^2 = 25 - 40x + 16x^2$. Звідси $16x^2 - 41x + 25 = 0$. Дискримінант $D = 1681 - 1600 = 81$. Корені: $x = \\frac{41 \\pm 9}{32}$, тобто $x = \\frac{50}{32} = 1{,}5625$ і $x = 1$. Оскільки $x = 1{,}5625 > 1{,}25$ — не задовольняє ОДЗ, єдиний корінь $x = 1$.