Вправа 53 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 53. Розв'яжіть рівняння:
- $\sqrt{|2x+1|} = 3$;
- $\sqrt{2 + \sqrt{x^2+2}} = 2$;
- $3|x^2 - 2| + 1 = 4$.
1) $\sqrt{|2x+1|} = 3$
Підносимо обидві частини до квадрату:
$|2x+1| = 9$
Розкриваємо модуль за двома випадками:
$2x + 1 = 9 \Rightarrow x = 4$
$2x + 1 = -9 \Rightarrow x = -5$
2) $\sqrt{2 + \sqrt{x^2+2}} = 2$
Підносимо до квадрату:
$2 + \sqrt{x^2+2} = 4$
$\sqrt{x^2+2} = 2$
$x^2 + 2 = 4$
$x^2 = 2$
$x = \pm\sqrt{2}$
3) $3|x^2 - 2| + 1 = 4$
$3|x^2-2| = 3$
$|x^2 - 2| = 1$
Розкриваємо модуль:
$x^2 - 2 = 1 \Rightarrow x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm\sqrt{3}$
$x^2 - 2 = -1 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$
Рівняння з модулем
$|A| = b$ при $b \geqslant 0$: $A = b$ або $A = -b$.
$|A| = b$ при $b < 0$: коренів немає.
Підведення до квадрату
$\sqrt{A} = b$ при $b \geqslant 0$: рівносильно $A = b^2$.
Для вкладених коренів підносимо послідовно — від зовнішнього до внутрішнього.
Пункт 1 — модуль під коренем. $\sqrt{|A|} = b \Rightarrow |A| = b^2$. Після цього стандартне розкриття модуля на два випадки. Перевірка не потрібна — $\sqrt{|A|} \geqslant 0$ завжди, і $b=3\geqslant 0$ ✓.
Пункт 2 — «цибулина». Знімаємо шари зовні: спочатку зовнішній корінь, потім внутрішній. На кожному кроці перевіряємо, що права частина невід'ємна: $4 \geqslant 0$ ✓, $2 \geqslant 0$ ✓. Коріння $\pm\sqrt{2}$ обидва задовольняють ОДЗ ($x^2 + 2 \geqslant 0$ завжди).
Пункт 3 — чотири корені. $|x^2-2|=1$ розпадається на два рівняння, кожне з яких дає по два корені. Важливо не забути жодне з чотирьох значень.
Часті помилки. 1) У п. 1 взяти лише $2x+1=9$, забути від'ємний випадок. 2) У п. 2 після першого підведення до квадрату написати $2+x^2+2=4$ — «загубити» внутрішній корінь. 3) У п. 3 розкрити лише один випадок модуля.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.