Вправа 55 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 55. Обчисліть:
- $\left(\sqrt{7-4\sqrt{3}} - \sqrt{7+4\sqrt{3}}\right)^2$;
- $\dfrac{4}{8-3\sqrt{7}} + \dfrac{4}{8+3\sqrt{7}}$.
1) $\left(\sqrt{7-4\sqrt{3}} - \sqrt{7+4\sqrt{3}}\right)^2$
Розпізнаємо повні квадрати під коренями:
$7 - 4\sqrt{3} = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = (2-\sqrt{3})^2$
$7 + 4\sqrt{3} = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = (2+\sqrt{3})^2$
Оскільки $2 > \sqrt{3}$, то $\sqrt{(2-\sqrt{3})^2} = 2 - \sqrt{3}$:
$= \left((2-\sqrt{3}) - (2+\sqrt{3})\right)^2 = (-2\sqrt{3})^2$
2) $\dfrac{4}{8-3\sqrt{7}} + \dfrac{4}{8+3\sqrt{7}}$
Знаменники — спряжені вирази. Зводимо до СЗ:
$(8-3\sqrt{7})(8+3\sqrt{7}) = 64 - 9\cdot 7 = 64 - 63 = 1$
$= \dfrac{4(8+3\sqrt{7}) + 4(8-3\sqrt{7})}{1} =$
$= 4(8+3\sqrt{7}) + 4(8-3\sqrt{7}) =$
$= 32 + 12\sqrt{7} + 32 - 12\sqrt{7}$
Розпізнавання повного квадрату під коренем
$a - 2\sqrt{ab} + b = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2$.
Тут: $7 \pm 4\sqrt{3} = (\sqrt{4} \pm \sqrt{3})^2 = (2 \pm \sqrt{3})^2$.
Різниця квадратів як знаменник
$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. При $a=8$, $b=3\sqrt{7}$:
$(8)^2 - (3\sqrt{7})^2 = 64 - 63 = 1$.
Знаменник рівний $1$ — вся сума спрощується до чисельника.
Пункт 1 — «магія» повного квадрату. Вираз $7 - 4\sqrt{3}$ не виглядає як квадрат. Але $4\sqrt{3} = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}$ — це $2ab$ при $a=2$, $b=\sqrt{3}$. Перевіряємо: $a^2 = 4$, $b^2 = 3$, $a^2 + b^2 = 7$ ✓. Коли бачиш $A \pm 2\sqrt{B}$ під коренем — шукай такий розклад.
Пункт 2 — «золотий» знаменник. $(8-3\sqrt{7})(8+3\sqrt{7}) = 64 - 63 = 1$ — рідкісна ситуація, коли знаменник після множення на спряжений стає рівним $1$. Це означає, що дроби перетворюються просто на суму чисельників.
Часті помилки. 1) У п. 1: $\sqrt{(2-\sqrt{3})^2} = |2-\sqrt{3}| = 2-\sqrt{3}$ (бо $2 > \sqrt{3}$). Якщо б $\sqrt{3} > 2$, результат був би $\sqrt{3}-2$. 2) У п. 2: $9 \cdot 7 = 63$, а не $21$ — не забути помножити коефіцієнти.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.