Вправа 56 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 56. Обчисліть:
- $\left(\sqrt{3+\sqrt{5}} + \sqrt{3-\sqrt{5}}\right)^2$;
- $\dfrac{2}{9+4\sqrt{5}} + \dfrac{2}{9-4\sqrt{5}}$.
1) $\left(\sqrt{3+\sqrt{5}} + \sqrt{3-\sqrt{5}}\right)^2$
Розкриваємо квадрат суми $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$:
$= (3+\sqrt{5}) + 2\sqrt{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})} + (3-\sqrt{5})$
$= 6 + 2\sqrt{9 - 5}$
$= 6 + 2\sqrt{4} = 6 + 4$
2) $\dfrac{2}{9+4\sqrt{5}} + \dfrac{2}{9-4\sqrt{5}}$
$(9+4\sqrt{5})(9-4\sqrt{5}) = 81 - 16\cdot 5 = 81 - 80 = 1$
$= 2(9-4\sqrt{5}) + 2(9+4\sqrt{5}) =$
$= 18 - 8\sqrt{5} + 18 + 8\sqrt{5}$
Квадрат суми коренів
$(\sqrt{A}+\sqrt{B})^2 = A + 2\sqrt{AB} + B$.
Добуток $\sqrt{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})} = \sqrt{9-5} = \sqrt{4} = 2$.
Спряжені вирази
$(9+4\sqrt{5})(9-4\sqrt{5}) = 81 - 80 = 1$.
Коли СЗ $= 1$, дроби замінюються сумою чисельників.
Вправа 56 — близнюк вправи 55. У п. 1 замість різниці — сума коренів, тому квадрат розкривається як $(A+B)^2$, і середній член $2\sqrt{AB}$ обчислюється через різницю квадратів $(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5}) = 4$. У п. 2 та сама «магія»: $9^2 - (4\sqrt{5})^2 = 81-80=1$.
Порівняй з вправою 55. Там $8^2 - (3\sqrt{7})^2 = 64-63=1$, тут $9^2 - (4\sqrt{5})^2 = 81-80=1$. Обидва рази знаменник рівний $1$ — не випадковість, укладачі спеціально підібрали такі пари чисел.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.