Вправа 69 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 69. Розв'яжіть біквадратне рівняння:
- $x^4 - 8x^2 - 9 = 0$;
- $x^4 + 10x^2 + 9 = 0$;
- $x^4 - 6x^2 + 8 = 0$.
Заміна $t = x^2$, $t \geqslant 0$.
1) $x^4 - 8x^2 - 9 = 0$
$t^2 - 8t - 9 = 0$
$(t-9)(t+1) = 0$
$t_1 = 9 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$
$t_2 = -1 \Rightarrow x^2 = -1$ — не підходить ($x^2 \geqslant 0$).
2) $x^4 + 10x^2 + 9 = 0$
$t^2 + 10t + 9 = 0$
$(t+1)(t+9) = 0$
$t_1 = -1$, $t_2 = -9$ — обидва від'ємні, $x^2 \geqslant 0$.
3) $x^4 - 6x^2 + 8 = 0$
$t^2 - 6t + 8 = 0$
$(t-2)(t-4) = 0$
$t_1 = 2 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}$
$t_2 = 4 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$
Біквадратне рівняння
$ax^4 + bx^2 + c = 0$. Заміна $t = x^2$ ($t \geqslant 0$) зводить до квадратного:
$at^2 + bt + c = 0$.
Корені $x$ існують лише для $t \geqslant 0$: $x = \pm\sqrt{t}$.
Пункт 2 — обидва значення $t$ від'ємні. Це означає, що рівняння не має дійсних коренів взагалі. Такий випадок виникає, коли обидва множники $(t+1)(t+9)$ дають тільки від'ємні $t$.
Пункт 3 — чотири корені. Кожне невід'ємне значення $t$ дає два корені $\pm\sqrt{t}$ (якщо $t>0$) або один ($t=0$). Тут обидва $t=2$ і $t=4$ додатні — чотири корені.
Перевірка п. 1: $(\pm3)^4 - 8\cdot(\pm3)^2 - 9 = 81-72-9=0$ ✓.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.