Вправа 71 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 71. Розв'яжіть рівняння:
- $\dfrac{x^2+x-2}{x-3} = 0$;
- $\dfrac{x^2+4x-5}{x-1} = 0$;
- $\dfrac{x^2}{x-2} = \dfrac{2x}{x-2}$;
- $\dfrac{x^2-2x}{x-3} = \dfrac{1}{3-x}$;
- $\dfrac{x-3}{8} = \dfrac{x}{x+3}$;
- $\dfrac{4}{x} = x+3$.
1) $\dfrac{x^2+x-2}{x-3} = 0$
ОДЗ: $x \neq 3$. Дріб дорівнює нулю, коли чисельник $= 0$:
$x^2+x-2 = 0$
$(x+2)(x-1) = 0$
$x = -2$ або $x = 1$; обидва $\neq 3$ ✓
2) $\dfrac{x^2+4x-5}{x-1} = 0$
ОДЗ: $x \neq 1$. Чисельник $= 0$:
$x^2+4x-5 = 0$
$(x+5)(x-1) = 0$
$x = -5$ або $x = 1$; $x = 1$ не входить в ОДЗ.
3) $\dfrac{x^2}{x-2} = \dfrac{2x}{x-2}$
ОДЗ: $x \neq 2$. Знаменники однакові, прирівнюємо чисельники:
$x^2 = 2x$
$x(x-2) = 0$
$x = 0$ або $x = 2$; $x = 2$ не входить в ОДЗ.
4) $\dfrac{x^2-2x}{x-3} = \dfrac{1}{3-x}$
ОДЗ: $x \neq 3$. Оскільки $3-x = -(x-3)$:
$\dfrac{x^2-2x}{x-3} = -\dfrac{1}{x-3}$
$x^2 - 2x = -1$
$x^2 - 2x + 1 = 0$
$(x-1)^2 = 0$
$x = 1 \neq 3$ ✓
5) $\dfrac{x-3}{8} = \dfrac{x}{x+3}$
ОДЗ: $x \neq -3$. Перехресне множення:
$(x-3)(x+3) = 8x$
$x^2 - 9 = 8x$
$x^2 - 8x - 9 = 0$
$(x-9)(x+1) = 0$
$x = 9$ або $x = -1$; обидва $\neq -3$ ✓
6) $\dfrac{4}{x} = x+3$
ОДЗ: $x \neq 0$. Множимо на $x$:
$4 = x(x+3)$
$x^2 + 3x - 4 = 0$
$(x+4)(x-1) = 0$
$x = -4$ або $x = 1$; обидва $\neq 0$ ✓
Дріб дорівнює нулю
$\dfrac{A}{B} = 0 \Leftrightarrow A = 0$ і $B \neq 0$.
Алгоритм дробового рівняння
1) Знайти ОДЗ. 2) Помножити на СЗ або застосувати спрощення. 3) Розв'язати. 4) Перевірити ОДЗ.
Пункт 2 — сторонній корінь. $x=1$ — корінь чисельника, але одночасно обнуляє знаменник. Такий корінь відкидається — це найпоширеніша помилка в дробових рівняннях.
Пункт 4 — протилежний знаменник. $3-x = -(x-3)$, тому дріб змінює знак. Після цього знаменники однакові і скорочуються — рівняння зводиться до $(x-1)^2=0$.
Пункт 3 — не ділити на $x$! $x^2=2x \Rightarrow x(x-2)=0$. Якщо поділити обидві частини на $x$, загубиш корінь $x=0$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.