Вправа 73 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер

Умова

Вправа 73. За яких значень коефіцієнтів $a$ і $b$ числа $-1$ і $3$ є коренями рівняння $ax^2 + bx - 6 = 0$?

Розв'язання

Підставляємо кожен корінь у рівняння:

$x = -1$: $\quad a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) - 6 = 0 \Rightarrow a - b = 6$

$x = 3$: $\quad a \cdot 3^2 + b \cdot 3 - 6 = 0 \Rightarrow 9a + 3b = 6 \Rightarrow 3a + b = 2$

Складаємо рівняння в систему та додаємо:

$\begin{cases} a - b = 6 \\ 3a + b = 2 \end{cases}$

Складаємо: $4a = 8 \Rightarrow a = 2$.

З першого рівняння: $b = a - 6 = 2 - 6 = -4$.

Перевірка: $2x^2 - 4x - 6 = 0$; корені: $x = \dfrac{4 \pm \sqrt{16+48}}{4} = \dfrac{4 \pm 8}{4}$; $x_1 = 3$, $x_2 = -1$ ✓

Відповідь

$a = 2$, $b = -4$.

Корінь рівняння

Якщо $x_0$ є коренем рівняння $f(x) = 0$, то при підстановці $x = x_0$ рівняння перетворюється на тотожність.

Альтернативний спосіб — теорема Вієта

Для $ax^2+bx+c=0$: $x_1+x_2 = -b/a$, $x_1 \cdot x_2 = c/a$.

Тут: $(-1)+3 = 2 = -b/a$; $(-1)\cdot 3 = -3 = -6/a \Rightarrow a=2$, $b=-4$.

Два способи. Перший — підстановка коренів і система рівнянь. Другий — теорема Вієта: $x_1 \cdot x_2 = c/a$ дає $-3 = -6/a$, звідки $a=2$ одразу. Потім $x_1+x_2 = -b/a$: $2 = -b/2$, $b=-4$. Другий спосіб швидший.