Вправа 83 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 83. Розв'яжіть рівняння:
- $\dfrac{4x^2+11x-3}{1-4x} = 7$;
- $\dfrac{x+4}{x-2} + \dfrac{x-3}{x+2} = 7$;
- $\dfrac{3x+2}{x+1} + \dfrac{x+4}{x-3} = \dfrac{3x^2+1}{(x+1)(x-3)}$;
- $\dfrac{2x-2}{x+3} - \dfrac{x-6}{x-3} = \dfrac{18}{x^2-9}$.
1) $\dfrac{4x^2+11x-3}{1-4x} = 7$
ОДЗ: $x \neq \dfrac{1}{4}$. Множимо на $(1-4x)$:
$4x^2 + 11x - 3 = 7(1-4x)$
$4x^2 + 39x - 10 = 0$
$D = 1521 + 160 = 1681 = 41^2$
$x = \dfrac{-39 \pm 41}{8}$
$x_1 = \dfrac{1}{4}$ — відкидаємо; $\quad x_2 = -10$
2) $\dfrac{x+4}{x-2} + \dfrac{x-3}{x+2} = 7$
ОДЗ: $x \neq 2$, $x \neq -2$. СЗ $= (x-2)(x+2)$:
$(x+4)(x+2) + (x-3)(x-2) = 7(x^2-4)$
$x^2+6x+8 + x^2-5x+6 = 7x^2-28$
$5x^2 - x - 42 = 0$
$D = 1 + 840 = 841 = 29^2$
$x = \dfrac{1 \pm 29}{10}$
$x_1 = 3$, $x_2 = -\dfrac{14}{5}$; обидва $\neq \pm 2$ ✓
3) $\dfrac{3x+2}{x+1} + \dfrac{x+4}{x-3} = \dfrac{3x^2+1}{(x+1)(x-3)}$
ОДЗ: $x \neq -1$, $x \neq 3$. Множимо на $(x+1)(x-3)$:
$(3x+2)(x-3) + (x+4)(x+1) = 3x^2+1$
$3x^2-7x-6 + x^2+5x+4 = 3x^2+1$
$x^2 - 2x - 3 = 0$
$(x-3)(x+1) = 0$
$x = 3$ і $x = -1$ — обидва виключені ОДЗ.
4) $\dfrac{2x-2}{x+3} - \dfrac{x-6}{x-3} = \dfrac{18}{x^2-9}$
ОДЗ: $x \neq \pm 3$. СЗ $= (x+3)(x-3)$:
$(2x-2)(x-3) - (x-6)(x+3) = 18$
$2x^2-8x+6 - (x^2-3x-18) = 18$
$x^2 - 5x + 6 = 0$
$(x-2)(x-3) = 0$
$x = 2$ ✓; $x = 3$ — відкидаємо.
Алгоритм дробового рівняння
1) ОДЗ. 2) Множимо на СЗ. 3) Розв'язуємо. 4) Відкидаємо корені, що не входять в ОДЗ.
Пункт 3 — обидва корені сторонні. Після множення на СЗ отримуємо квадратне рівняння, корені якого збігаються з ОДЗ-обмеженнями. Обидва відкидаються — рівняння не має розв'язків.
Пункт 1 — сторонній корінь $x=\frac{1}{4}$. Він є коренем знаменника $1-4x$, тому після множення на $(1-4x)$ «з'являється» серед коренів квадратного рівняння. Це типова ситуація — завжди перевіряй ОДЗ.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.