Вправа 92 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 92. Розв'яжіть рівняння:
- $(x-2)^4 + 4(x-2)^2 - 5 = 0$;
- $(x^2-x)^2 - 5x^2 + 5x + 6 = 0$.
1) $(x-2)^4 + 4(x-2)^2 - 5 = 0$
Заміна $t = (x-2)^2$, $t \geqslant 0$:
$t^2 + 4t - 5 = 0$
$(t+5)(t-1) = 0$
$t_1 = 1$:
$(x-2)^2 = 1$
$x - 2 = \pm 1$
$x = 3$ або $x = 1$
$t_2 = -5$ — не підходить ($t \geqslant 0$).
2) $(x^2-x)^2 - 5x^2 + 5x + 6 = 0$
Зауважимо: $-5x^2+5x = -5(x^2-x)$. Перепишемо:
$(x^2-x)^2 - 5(x^2-x) + 6 = 0$
Заміна $t = x^2-x$:
$t^2 - 5t + 6 = 0$
$(t-2)(t-3) = 0$
$t_1 = 2$:
$x^2 - x - 2 = 0$
$(x-2)(x+1) = 0$
$x = 2$ або $x = -1$
$t_2 = 3$:
$x^2 - x - 3 = 0$
$D = 1 + 12 = 13$
$x = \dfrac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$
Заміна змінної
Виділяємо повторюваний вираз $f(x)$, позначаємо $t = f(x)$, розв'язуємо квадратне рівняння відносно $t$, повертаємося до $x$.
Вправа 92 — близнюк вправи 91. Та сама ідея заміни. У п. 2 — чотири корені, бо обидва значення $t$ додатні і кожне дає два корені $x$.
П. 2 — помітити $-5x^2+5x = -5(x^2-x)$. Щойно виніс $-5$ за дужки — одразу видно заміну $t=x^2-x$. Без цього кроку задача виглядає складнішою ніж є.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.