Вправа 19 — Вправи для повторення розділу 3 — ГДЗ Геометрія 9 клас Істер

Доведення

Нехай сторони трикутника, до яких проведено медіани $m_1$, $m_2$, $m_3$, дорівнюють відповідно $a$, $b$, $c$.

$m_1^2 = \dfrac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$.

$m_2^2 = \dfrac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4}$.

$m_3^2 = \dfrac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}$.

$\dfrac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4} + \dfrac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4} = 5 \cdot \dfrac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}$.

$2b^2 + 2c^2 - a^2 + 2a^2 + 2c^2 - b^2 = 10a^2 + 10b^2 - 5c^2$.

$a^2 + b^2 + 4c^2 = 10a^2 + 10b^2 - 5c^2$.

$9c^2 = 9a^2 + 9b^2$.

$c^2 = a^2 + b^2$.

За теоремою, оберненою до теореми Піфагора, трикутник є прямокутним (з гіпотенузою $c$).