До змісту

Вправа 30 — Вправи для повторення розділу 3 — ГДЗ Геометрія 9 клас Істер

Завдання 30

Доведіть, що бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну йому сторону на частини, обернено пропорційні синусам прилеглих до цієї сторони кутів.

Доведення

Дано

△ABC\triangle ABC

ALAL — бісектриса ∠A\angle A

Довести

BLLC=sin⁡Csin⁡B\dfrac{BL}{LC} = \dfrac{\sin C}{\sin B}

Доведення

A B C L

∠BAL=∠CAL=∠A2\angle BAL = \angle CAL = \dfrac{\angle A}{2}.

BLsin⁡∠BAL=ALsin⁡B\dfrac{BL}{\sin \angle BAL} = \dfrac{AL}{\sin B}.

BL=ALsin⁡∠A2sin⁡BBL = \dfrac{AL \sin \dfrac{\angle A}{2}}{\sin B}.

LCsin⁡∠CAL=ALsin⁡C\dfrac{LC}{\sin \angle CAL} = \dfrac{AL}{\sin C}.

LC=ALsin⁡∠A2sin⁡CLC = \dfrac{AL \sin \dfrac{\angle A}{2}}{\sin C}.

BLLC=ALsin⁡∠A2sin⁡BALsin⁡∠A2sin⁡C=\dfrac{BL}{LC} = \dfrac{\dfrac{AL \sin \dfrac{\angle A}{2}}{\sin B}}{\dfrac{AL \sin \dfrac{\angle A}{2}}{\sin C}} =

=sin⁡Csin⁡B= \dfrac{\sin C}{\sin B}.

Відповідь
Доведено.