Вправа 57 — Вправи для повторення розділу 3 — ГДЗ Геометрія 9 клас Істер

Розв'язання

Проведемо через вершину $C$ пряму, паралельну бічній стороні $AB$, до перетину з основою $AD$ у точці $E$.

Оскільки $ABCE$ — чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні ($BC \parallel AE$, $AB \parallel CE$), то $ABCE$ — паралелограм.

Звідси $CE = AB = 13$ (см) та $AE = BC = 4$ (см).

Знайдемо відрізок $ED$:

$ED = AD - AE = 25 - 4 = 21$ (см).

Розглянемо $\triangle CED$. Його сторони дорівнюють $CE = 13$ см, $CD = 20$ см, $ED = 21$ см. Знайдемо його площу за формулою Герона.

Півпериметр $\triangle CED$:

$p = \dfrac{13 + 20 + 21}{2} = \dfrac{54}{2} = 27$ (см).

Площа $\triangle CED$:

$S_{CED} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} =$

$= \sqrt{27\cdot (27-13)\cdot (27-20)\cdot (27-21)} =$

$= \sqrt{27\cdot 14\cdot 7\cdot 6} =$

$= \sqrt{(9\cdot 3)\cdot (2\cdot 7)\cdot 7\cdot (2\cdot 3)} =$

$= \sqrt{9\cdot 9\cdot 4\cdot 49} =$

$= 3\cdot 3\cdot 2\cdot 7 = 126$ (см²).

З іншого боку, площа трикутника дорівнює половині добутку сторони на висоту, проведену до неї. Висота $CH$, проведена до сторони $ED$, є також висотою трапеції.

$S_{CED} = \dfrac{1}{2}\cdot ED\cdot CH$.

$126 = \dfrac{1}{2}\cdot 21\cdot CH$.

$252 = 21\cdot CH$.

$CH = \dfrac{252}{21} = 12$ (см).