Вправа 48 — Вправи для повторення розділу 4 — ГДЗ Геометрія 9 клас Істер

Розв'язання

Нехай центри чотирьох однакових кругів — $O_1, O_2, O_3, O_4$, а їхній радіус дорівнює $x$.

Оскільки кожен із цих кругів дотикається до сусідніх і до центрального круга, їхні центри утворюють квадрат $O_1O_2O_3O_4$, центр якого збігається з точкою $O$.

Сторона цього квадрата дорівнює сумі радіусів двох сусідніх кругів (які дотикаються):

$O_1O_2 = x + x = 2x$.

Відстань від центру $O$ до центру будь-якого зовнішнього круга (наприклад, $O_1$) дорівнює сумі радіусів центрального і зовнішнього кругів:

$OO_1 = r + x$.

З іншого боку, відстань $OO_1$ — це половина діагоналі квадрата зі стороною $2x$. Знайдемо її:

$OO_1 = \dfrac{2x\sqrt{2}}{2} = x\sqrt{2}$.

Прирівняємо обидва вирази для $OO_1$ та складемо рівняння:

$x\sqrt{2} = r + x$.

Перенесемо $x$ вліво і винесемо за дужки:

$x\sqrt{2} - x = r$.

$x(\sqrt{2} - 1) = r$.

Знайдемо радіус $x$ і позбудемося ірраціональності в знаменнику (домножимо чисельник і знаменник на $(\sqrt{2} + 1)$):

$x = \dfrac{r}{\sqrt{2} - 1} =$

$= \dfrac{r(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} =$

$= \dfrac{r(\sqrt{2} + 1)}{2 - 1} =$

$= r(\sqrt{2} + 1)$.

Тепер знайдемо площу одного такого круга за формулою $S = \pi x^2$:

$S = \pi \left(r(\sqrt{2} + 1)\right)^2 =$

$= \pi r^2 (\sqrt{2} + 1)^2$.

Застосуємо формулу квадрата суми $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$S = \pi r^2 (2 + 2\sqrt{2} + 1) =$

$= \pi r^2 (3 + 2\sqrt{2})$.