Вправа 50 — Вправи для повторення розділу 4 — ГДЗ Геометрія 9 клас Істер

Розв'язання

Оскільки хорди паралельні ($AB \parallel CD$), то дуги, що містяться між ними, рівні: $\cup AC = \cup BD$.

Сума всіх дуг повного кола дорівнює $360^{\circ}$. Знайдемо суму дуг $\cup AC$ і $\cup BD$:

$\cup AC + \cup BD = 360^{\circ} - 120^{\circ} - 60^{\circ} =$

$= 180^{\circ}$.

Оскільки ці дуги рівні, то градусна міра кожної з них:

$\cup AC = \cup BD = \dfrac{180^{\circ}}{2} =$

$= 90^{\circ}$.

Відповідні їм центральні кути також дорівнюють $90^{\circ}$:

$\angle AOC = \angle BOD = 90^{\circ}$.

З умови знаємо центральні кути, що спираються на задані хорди:

$\angle AOB = 120^{\circ}$, $\angle COD = 60^{\circ}$.

Площа шуканої фігури дорівнює сумі площ двох трикутників ($\triangle AOB$ і $\triangle COD$) та двох кругових секторів ($AOC$ і $BOD$).

Знайдемо площі трикутників за формулою $S = \dfrac{1}{2}ab\sin\gamma$:

$S_{\triangle AOB} = \dfrac{1}{2} R \cdot R \sin 120^{\circ} = \dfrac{1}{2} R^2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} =$

$= \dfrac{R^2\sqrt{3}}{4}$.

$S_{\triangle COD} = \dfrac{1}{2} R \cdot R \sin 60^{\circ} = \dfrac{1}{2} R^2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} =$

$= \dfrac{R^2\sqrt{3}}{4}$.

Знайдемо площі кругових секторів з кутом $90^{\circ}$:

$S_{\text{сект } AOC} = \dfrac{\pi R^2 \cdot 90^{\circ}}{360^{\circ}} = \dfrac{\pi R^2}{4}$.

$S_{\text{сект } BOD} = \dfrac{\pi R^2 \cdot 90^{\circ}}{360^{\circ}} = \dfrac{\pi R^2}{4}$.

Знайдемо загальну площу фігури $S$ як суму цих чотирьох частин:

$S = \dfrac{R^2\sqrt{3}}{4} + \dfrac{R^2\sqrt{3}}{4} + \dfrac{\pi R^2}{4} + \dfrac{\pi R^2}{4} =$

$= \dfrac{2R^2\sqrt{3}}{4} + \dfrac{2\pi R^2}{4} =$

$= \dfrac{R^2\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\pi R^2}{2} =$

$= \dfrac{R^2}{2}(\pi + \sqrt{3})$.