Вправа 71 Вправи для повторення розділу 5 ГДЗ Геометрія 9 клас Істер

Розв'язання

Нехай $S_{ABC} = S$.

За властивістю точки перетину медіан:

$BM : MD = 2 : 1$.

Тоді $BM : BD = 2 : 3$.

$KL \parallel AC$, отже $\triangle KBL \sim \triangle ABC$ (лема про подібні трикутники).

Відношення відповідних медіан подібних трикутників дорівнює коефіцієнту подібності:

$k = \dfrac{BM}{BD} = \dfrac{2}{3}$.

Відношення площ подібних трикутників:

$\dfrac{S_{KBL}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{4}{9}$.

$S_{KBL} = \dfrac{4}{9} S$.

Площа трапеції $AKLC$:

$S_{AKLC} = S_{ABC} - S_{KBL}$.

$S_{AKLC} = S - \dfrac{4}{9} S = \dfrac{5}{9} S$.

Відношення площ отриманих фігур:

$\dfrac{S_{KBL}}{S_{AKLC}} = \dfrac{\dfrac{4}{9} S}{\dfrac{5}{9} S} =$

$= \dfrac{4}{5}$.