Вправа 1.1 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Вправа 1.1. Накресліть одиничне півколо, узявши за одиничний такий відрізок, довжина якого в 5 разів більша за сторону клітинки зошита. Побудуйте кут, вершиною якого є початок координат, а однією зі сторін — додатна піввісь осі абсцис:
- косинус якого дорівнює $\dfrac{1}{5}$;
- косинус якого дорівнює $-0{,}4$;
- синус якого дорівнює $0{,}6$;
- синус якого дорівнює $1$;
- косинус якого дорівнює $0$;
- косинус якого дорівнює $-1$.
За одиничний береться відрізок завдовжки 5 клітинок ($1 = 5$ клітинок). Будуємо верхнє одиничне півколо радіуса $1$ із центром у точці $O$ — початку координат.
Як будувати кут за косинусом (пункти 1, 2, 5, 6). Косинус — це абсциса точки на півколі. На осі $x$ відкладаємо значення $\cos\alpha$, через цю точку проводимо перпендикуляр до осі $x$ до перетину з півколом — дістаємо точку $M$. Кут $\angle MOx$ і є шуканий.
Як будувати кут за синусом (пункти 3, 4). Синус — це ордината точки. На осі $y$ відкладаємо значення $\sin\alpha$, через цю точку проводимо перпендикуляр до осі $y$ до перетину з півколом — дістаємо точку $M$. Кут $\angle MOx$ — шуканий.
1) $\cos\alpha = \dfrac{1}{5} = 0{,}2 > 0$ — кут гострий ($\alpha \approx 78^{\circ}$). Точка $1$ праворуч від осі $y$.
2) $\cos\alpha = -0{,}4 < 0$ — кут тупий ($\alpha \approx 114^{\circ}$). Точка $2$ ліворуч від осі $y$.
3) $\sin\alpha = 0{,}6$ — на півколі дві такі точки; беремо гострий кут ($\alpha \approx 37^{\circ}$). Точка $3$.
4) $\sin\alpha = 1$ — найбільше можливе значення; $\alpha = 90^{\circ}$. Точка $4$ — на осі $y$.
5) $\cos\alpha = 0$ — $\alpha = 90^{\circ}$. Точка $5$ збігається з точкою $4$ (вершина півкола).
6) $\cos\alpha = -1$ — найменше значення; $\alpha = 180^{\circ}$. Точка $6$ — лівий кінець діаметра.
Одиничне півколо
Одиничним називають півколо радіуса $1$ з центром у початку координат, розташоване у верхній півплощині ($y \geqslant 0$).
Кожному куту $\alpha$, де $0^{\circ} \leqslant \alpha \leqslant 180^{\circ}$, відповідає єдина точка $M(x;\,y)$ цього півкола, причому одна сторона кута — додатна піввісь $Ox$.
Косинус і синус як координати точки
$\cos\alpha = x$ — абсциса точки $M$ (горизонтальна координата);
$\sin\alpha = y$ — ордината точки $M$ (вертикальна координата).
Тому для побудови кута за косинусом відкладають значення на осі $x$, за синусом — на осі $y$, і відновлюють перпендикуляр до перетину з півколом.
Межі значень на $[0^{\circ};\,180^{\circ}]$
$0 \leqslant \sin\alpha \leqslant 1$ (синус не від'ємний);
$-1 \leqslant \cos\alpha \leqslant 1$;
$\cos\alpha > 0$ — кут гострий; $\cos\alpha < 0$ — кут тупий; $\cos\alpha = 0$ — кут прямий.
Навіщо брати одиничний відрізок у 5 клітинок? Щоб дроби з умови ($\dfrac{1}{5}$, $0{,}6$ тощо) зручно відкладалися по клітинках. Якщо $1 = 5$ клітинок, то $\dfrac{1}{5}$ — це рівно $1$ клітинка, $-0{,}4$ — це $2$ клітинки вліво, $0{,}6$ — це $3$ клітинки вгору. Усе лягає на вузли сітки, не треба нічого «прикидати на око».
Косинус — по горизонталі, синус — по вертикалі. Це головне, що тут можна переплутати. Точка на півколі має дві координати: ліворуч-праворуч — це косинус, вгору — це синус. Якщо в пункті сказано «косинус», працюєш з віссю $x$; якщо «синус» — з віссю $y$.
Чому в пункті 3 ($\sin\alpha = 0{,}6$) точок насправді дві? Перпендикуляр, проведений від осі $y$ на висоті $0{,}6$, перетинає півколо у двох точках — праворуч (гострий кут $\approx 37^{\circ}$) і ліворуч (тупий кут $\approx 143^{\circ}$). Обидві дають $\sin\alpha = 0{,}6$. У відповіді достатньо побудувати одну (зазвичай гострий кут), але корисно розуміти, що друга теж підходить.
Пункти 4 і 5 дають один і той самий кут. $\sin\alpha = 1$ можливо тільки у вершині півкола, а там $\cos\alpha = 0$. Тобто $\alpha = 90^{\circ}$ в обох випадках — точки збігаються. Це не помилка, а особливість прямого кута.
Крайні значення. $\cos\alpha = -1$ буває лише при $\alpha = 180^{\circ}$ (лівий кінець діаметра), а $\sin\alpha = 1$ — лише при $\alpha = 90^{\circ}$. Якщо в умові трапиться $\sin\alpha > 1$ або $|\cos\alpha| > 1$ — такого кута не існує, точку поставити неможливо.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.