Вправа 1.2 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Вправа 1.2. Накресліть одиничне півколо, узявши за одиничний такий відрізок, довжина якого в 6 разів більша за сторону клітинки зошита. Побудуйте кут, вершиною якого є початок координат, а однією зі сторін — додатна піввісь осі абсцис:
- синус якого дорівнює $\dfrac{1}{3}$;
- косинус якого дорівнює $\dfrac{1}{6}$;
- косинус якого дорівнює $-\dfrac{2}{3}$.
Дано
одиничне півколо
$1 = 6$ клітинок
1) $\sin\alpha = \dfrac{1}{3}$
2) $\cos\alpha = \dfrac{1}{6}$
3) $\cos\alpha = -\dfrac{2}{3}$
Побудувати
кут $\alpha$
1) $\sin\alpha = \dfrac{1}{3} \implies y = 6 \cdot \dfrac{1}{3} = 2$ (клітинки), $\alpha \approx 19^{\circ}$.
2) $\cos\alpha = \dfrac{1}{6} \implies x = 6 \cdot \dfrac{1}{6} = 1$ (клітинка), $\alpha \approx 80^{\circ}$.
3) $\cos\alpha = -\dfrac{2}{3} \implies x = 6 \cdot \left(-\dfrac{2}{3}\right) = -4$ (клітинки), $\alpha \approx 132^{\circ}$.
Одиничне півколо
Одиничним називають півколо радіуса $1$ з центром у початку координат, розташоване у верхній півплощині ($y \geqslant 0$).
Кожному куту $\alpha$, де $0^{\circ} \leqslant \alpha \leqslant 180^{\circ}$, відповідає єдина точка $M(x;\,y)$ цього півкола, причоєму одна сторона кута — додатна піввісь $Ox$.
Косинус і синус як координати точки
$\cos\alpha = x$ — абсциса точки $M$ (горизонтальна координата);
$\sin\alpha = y$ — ордината точки $M$ (вертикальна координата).
Тому для побудови кута за косинусом відкладають значення на осі $x$, за синусом — на осі $y$, і відновлюють перпендикуляр до перетину з півколом.
Межі значень на $[0^{\circ};\,180^{\circ}]$
$0 \leqslant \sin\alpha \leqslant 1$ (синус не від'ємний);
$-1 \leqslant \cos\alpha \leqslant 1$;
$\cos\alpha > 0$ — кут гострий; $\cos\alpha < 0$ — кут тупий; $\cos\alpha = 0$ — кут прямий.
Навіщо брати одиничний відрізок у 6 клітинок? Щоб дроби з умови ($\dfrac{1}{3}$, $\dfrac{1}{6}$, $-\dfrac{2}{3}$) зручно відкладалися по клітинках зошита. Коли $1 = 6$ клітинок, то $\dfrac{1}{3}$ — це рівно $2$ клітинки вгору, $\dfrac{1}{6}$ — це $1$ клітинка вправо, а $-\dfrac{2}{3}$ — це $4$ клітинки вліво. Завдяки цьому всі базові точки для побудови перпендикулярів потрапляють точно на перетин ліній сітки.
Косинус — по горизонталі, синус — по вертикалі. Це головне правило тригонометричного кола. Абсциса ($x$) відповідає косинусу, ордината ($y$) — синусу кута. Не плутайте осі під час відкладання відрізків.
Чому в пункті 1 ($\sin\alpha = \dfrac{1}{3}$) точок на півколі дві? Горизонтальна пряма на висоті 2 клітинок перетинає одиничне півколо у двох місцях: у першій чверті (гострий кут $\approx 19^{\circ}$) та у другій чверті (тупий кут $\approx 161^{\circ}$). Обидва кути мають однаковий синус. У розв'язанні ми ніяких додаткових обмежень не маємо, тому обираємо гострий кут (Точка 1), проте побудова тупого кута також є правильною.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.