Вправа 1.26 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Вправа 1.26. Чи є правильним твердження:
- косинус гострого кута більший за косинус тупого кута;
- існує тупий кут, синус і косинус якого рівні;
- існує кут, синус і косинус якого дорівнюють нулю;
- синус кута, відмінного від прямого, менший від синуса прямого кута;
- косинус розгорнутого кута менший від косинуса кута, відмінного від розгорнутого;
- синуси суміжних кутів рівні;
- косинуси нерівних суміжних кутів є протилежними числами;
- якщо косинуси двох кутів рівні, то рівні й самі кути;
- якщо синуси двох кутів рівні, то рівні й самі кути;
- тангенс гострого кута більший за тангенс тупого кута?
1) Гострий: $\cos\alpha > 0$; тупий: $\cos\alpha < 0$. Додатне $>$ від'ємного — правильно.
2) У тупого кута $\sin\alpha > 0$, а $\cos\alpha < 0$, рівними бути не можуть — неправильно.
3) $\sin\alpha = 0$ при $\alpha = 0^{\circ}$ або $180^{\circ}$, але тоді $\cos\alpha = \pm 1 \neq 0$ — неправильно.
4) $\sin 90^{\circ} = 1$ — найбільше значення; для будь-якого іншого кута синус менший — правильно.
5) $\cos 180^{\circ} = -1$ — найменше значення; косинус будь-якого іншого кута більший — правильно.
6) $\sin(180^{\circ}-\alpha) = \sin\alpha$ — синуси суміжних кутів рівні — правильно.
7) $\cos(180^{\circ}-\alpha) = -\cos\alpha$ — протилежні числа — правильно.
8) Косинус на $[0^{\circ};180^{\circ}]$ кожне значення приймає один раз, тож рівні косинуси $\Rightarrow$ рівні кути — правильно.
9) $\sin 30^{\circ} = \sin 150^{\circ} = \dfrac{1}{2}$, а кути різні — неправильно.
10) Гострий: $\operatorname{tg}\alpha > 0$; тупий: $\operatorname{tg}\alpha < 0$. Додатне $>$ від'ємного — правильно.
Поведінка функцій на $[0^{\circ};180^{\circ}]$
$\sin\alpha$: зростає на $[0^{\circ};90^{\circ}]$, спадає на $[90^{\circ};180^{\circ}]$; максимум $\sin 90^{\circ}=1$. Кожне значення (крім $1$) дають два кути.
$\cos\alpha$: спадає від $1$ до $-1$; кожне значення дає рівно один кут.
Знаки
$\sin\alpha \geqslant 0$ завжди; $\cos\alpha$ і $\operatorname{tg}\alpha$ додатні для гострих, від'ємні для тупих.
Більшість пунктів — на знак функції. Пункти 1, 10 одразу даються через «додатне більше за від'ємне». Пункт 2 — навпаки: у тупого кута синус і косинус мають різні знаки, тож рівними не будуть.
Крайні значення. Пункти 4 і 5 — про екстремуми: синус найбільший у $90^{\circ}$, косинус найменший у $180^{\circ}$. Звідси обидва твердження правильні.
Головна різниця між синусом і косинусом — пункти 8 і 9. Косинус кожне значення приймає лише один раз, тому рівні косинуси гарантують рівні кути. А синус «дзеркальний»: $\sin 30^{\circ}=\sin 150^{\circ}$, тож рівні синуси ще не означають рівні кути. Це і є контрприклад до пункту 9.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.