Вправа 1.36 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Вправа 1.36. Знайдіть кути трикутника $ABC$, якщо $\sin A = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\operatorname{tg} C = 1$.
Дано
$\triangle ABC$;
$\sin A = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$;
$\operatorname{tg} C = 1$.
Знайти
$\angle A$, $\angle B$, $\angle C$.
$\operatorname{tg} C = 1 > 0 \Rightarrow \angle C$ — гострий, $\angle C = 45^{\circ}$.
$\sin A = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \angle A = 60^{\circ}$ або $\angle A = 120^{\circ}$.
Випадок $\angle A = 60^{\circ}$: $\angle B = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 45^{\circ} = 75^{\circ}$.
Випадок $\angle A = 120^{\circ}$: $\angle B = 180^{\circ} - 120^{\circ} - 45^{\circ} = 15^{\circ}$.
Обидва випадки дають додатні кути — задача має два розв'язки.
Значення функцій
$\operatorname{tg}\alpha = 1$, $\alpha > 0$ і гострий $\Leftrightarrow \alpha = 45^{\circ}$ (для тупого тангенс був би від'ємним).
$\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \alpha = 60^{\circ}$ або $\alpha = 120^{\circ}$.
Сума кутів
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$.
Тангенс задає кут однозначно. $\operatorname{tg} C=1$ — додатне число, отже кут гострий. Єдиний такий кут — $45^{\circ}$ (тупий кут з тангенсом $1$ не існує, у тупого тангенс від'ємний).
Синус знову дає два варіанти. $\sin A=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ підходить для $60^{\circ}$ і $120^{\circ}$. Перевіряємо обидва: разом із $C=45^{\circ}$ сума в кожному випадку менша за $180^{\circ}$, тому обидва трикутники існують.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.