Вправа 1.40 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Вправа 1.40. Точка $O$ — центр кола, вписаного в трикутник $ABC$, $\cos\angle BOC = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Знайдіть кут $A$ трикутника.
Дано
$\triangle ABC$, $O$ — центр вписаного кола;
$\cos\angle BOC = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Знайти
$\angle A$.
$\cos\angle BOC = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \angle BOC = 150^{\circ}$.
$BO$, $CO$ — бісектриси, тому $\angle BOC = 180^{\circ} - \dfrac{\angle B + \angle C}{2}$.
$180^{\circ} - \dfrac{\angle B + \angle C}{2} = 150^{\circ} \Rightarrow \dfrac{\angle B + \angle C}{2} = 30^{\circ}$.
$\angle B + \angle C = 60^{\circ}$.
$\angle A = 180^{\circ} - (\angle B + \angle C) = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.
Центр вписаного кола
Точка перетину бісектрис: $BO$ і $CO$ ділять кути $B$ і $C$ навпіл.
Кут між бісектрисами
$\angle BOC = 90^{\circ} + \dfrac{\angle A}{2}$.
$\cos\angle BOC = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \angle BOC = 150^{\circ}$.
Це зворотна задача до 1.39. Там за кутом $B$ шукали $\angle AOC$, тут за кутом $\angle BOC$ — кут $A$. Спочатку від косинуса переходимо до самого кута: $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ відповідає тупому куту $150^{\circ}$.
Через бісектриси. У трикутнику $BOC$ при вершинах $B$ і $C$ — половинки кутів трикутника, тому $\angle BOC=180^{\circ}-\dfrac{\angle B+\angle C}{2}$. Звідси сума $\angle B+\angle C=60^{\circ}$, а кут $A$ доповнює її до $180^{\circ}$.
Швидше — готовою формулою. $\angle BOC=90^{\circ}+\dfrac{\angle A}{2}$. Тоді $150^{\circ}=90^{\circ}+\dfrac{\angle A}{2}$, звідки $\dfrac{\angle A}{2}=60^{\circ}$ і $\angle A=120^{\circ}$ ✓.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.