Вправа 1.42 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
1.42. Дах будинку з мансардою має два схили завдовжки 6 м, кут нахилу яких дорівнює $50^{\circ}$ (рис. 1.6). Два інших схили завдовжки 4 м утворюють між собою на конику даху кут величиною $120^{\circ}$. Висота стін будинку дорівнює 4 м. Скільки метрів становить: 1) ширина фасаду будинку; 2) відстань від землі до коника даху? Відповідь округліть до десятих.
Дано
нижні схили $= 6$ м, кут нахилу $50^{\circ}$
верхні схили $= 4$ м, кут між ними $120^{\circ}$
висота стін $= 4$ м
Знайти
1) ширину фасаду — ?
2) висоту до коника — ?
1) Верхні схили утворюють рівнобедрений трикутник з боковими сторонами $4$ м і кутом $120^{\circ}$ між ними. Його основа (верхній проліт):
$a^2 = 4^2+4^2-2\cdot4\cdot4\cos120^{\circ} =$
$= 16+16-32\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right) = 48$.
$a = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}\approx 6{,}93$ (м).
Горизонтальна проєкція кожного нижнього схилу:
$6\cos50^{\circ}\approx 6\cdot0{,}643 = 3{,}86$ (м).
Ширина фасаду:
$4\sqrt{3} + 2\cdot3{,}86 \approx 6{,}93 + 7{,}71 = 14{,}6$ (м).
2) Висота рівнобедреного верхнього трикутника над його основою:
$4\cos60^{\circ} = 4\cdot\dfrac{1}{2} = 2$ (м).
Вертикальний підйом нижнього схилу:
$6\sin50^{\circ}\approx 6\cdot0{,}766 = 4{,}60$ (м).
Відстань від землі до коника:
$4 + 4{,}60 + 2 = 10{,}6$ (м).
Теорема косинусів
$a^2 = b^2+c^2-2bc\cos A$.
Квадрат сторони дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєний їх добуток на косинус кута між ними.
Проєкції сторони під кутом до горизонталі
Якщо відрізок завдовжки $\ell$ нахилений під кутом $\varphi$ до горизонту, то
горизонтальна проєкція $=\ell\cos\varphi$,
вертикальна проєкція $=\ell\sin\varphi$.
Розбий дах на дві частини. Профіль даху — це не один трикутник, а ламана: дві нижні (довші, пологіші) частини й дві верхні, що сходяться на конику. Тому рахуємо окремо верхній «гострий» трикутник і окремо внесок нижніх схилів. Ширина й висота — це суми кількох шматків.
Ширина фасаду. Це повна горизонталь знизу. Верхній трикутник дає свою основу $4\sqrt3$ (знаходимо теоремою косинусів за двома сторонами $4$ і кутом $120^{\circ}$). Кожен нижній схил додає свою горизонтальну проєкцію $6\cos50^{\circ}$, і таких схилів два. Складаємо все.
Висота до коника. Піднімаємось від землі трьома «поверхами»: спершу стіна $4$ м, потім вертикальний підйом нижнього схилу $6\sin50^{\circ}$, і нарешті висота верхнього трикутника над його основою $4\cos60^{\circ}=2$. Висоту верхнього трикутника зручно брати через половину кута: він рівнобедрений, висота ділить кут $120^{\circ}$ навпіл, тож працюємо з прямокутним трикутником і кутом $60^{\circ}$.
Часта помилка. Кут $50^{\circ}$ — це кут нахилу до горизонту, а не між схилами. Тому горизонталь — через $\cos50^{\circ}$, а вертикаль — через $\sin50^{\circ}$, не навпаки. Якщо переплутати, ширина й висота поміняються «характером» і відповідь буде неправильною.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.