Вправа 10.20 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Вправа 10.20. Доведіть, що коло $(x-4)^2+(y-2)^2=1$ і пряма $3x+y=3$ не мають спільних точок.
Дано
$(x-4)^2+(y-2)^2=1$
$3x+y=3$
Довести
немає спільних точок
З рівняння прямої: $y=3-3x$.
Підставляємо в рівняння кола:
$(x-4)^2+(3-3x-2)^2=1$;
$(x-4)^2+(1-3x)^2=1$;
$x^2-8x+16+1-6x+9x^2=1$;
$10x^2-14x+17=1$;
$10x^2-14x+16=0$;
$5x^2-7x+8=0$;
$D=(-7)^2-4\cdot5\cdot8=49-160=-111$.
$D<0$ — рівняння не має коренів, отже, коло і пряма не мають спільних точок.
Рівняння кола
Коло з центром $O(a;\,b)$ і радіусом $r$:
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$.
Взаємне розміщення прямої й кола
Підставивши $y$ з рівняння прямої в рівняння кола, отримують квадратне рівняння. За його дискримінантом:
$D>0$ — пряма перетинає коло (дві точки);
$D=0$ — пряма дотична (одна точка);
$D<0$ — спільних точок немає.
Логіка доведення. Спільні точки прямої й кола — це розв'язки системи з їхніх рівнянь. Виражаємо $y=3-3x$, підставляємо в рівняння кола й зводимо до квадратного. Якщо воно не має коренів ($D<0$), то система розв'язків не має — спільних точок немає. Тут $D=-111<0$, що й доводить умову.
Альтернатива через відстань. Можна порівняти відстань від центра $O(4;\,2)$ до прямої $3x+y-3=0$ з радіусом: $\dfrac{|3\cdot4+2-3|}{\sqrt{3^2+1^2}}=\dfrac{11}{\sqrt{10}}\approx3{,}48$. Це більше за $r=1$, тому пряма проходить осторонь від кола й не торкається його. Дискримінант дає той самий висновок коротшим шляхом.
Уважно з обчисленнями. При підстановці $(1-3x)^2$ розкривайте акуратно: $(1-3x)^2=1-6x+9x^2$, а не $1-3x^2$. Помилка в одному доданку зіб'є знак дискримінанта й увесь висновок.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.