Вправа 10.27 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Вправа 10.27. Знайдіть координати точки, яка рівновіддалена від осей координат і від точки $A(3;\,6)$.
Відстані до осей дорівнюють $|x|$ і $|y|$. Їх рівність $|x|=|y|$ означає $y=x$ або $y=-x$.
Точка на прямій $y=x$
Нехай точка $(t;\,t)$, відстань до осей $=|t|$.
$(t-3)^2+(t-6)^2=t^2$;
$t^2-6t+9+t^2-12t+36=t^2$;
$t^2-18t+45=0$;
$t=3$ або $t=15$.
Точки $(3;\,3)$ і $(15;\,15)$.
Точка на прямій $y=-x$
Нехай точка $(t;\,-t)$:
$(t-3)^2+(-t-6)^2=t^2$;
$t^2+6t+45=0$, $D<0$ — розв'язків немає.
Відстань до осей
До осі $x$ — $|y|$; до осі $y$ — $|x|$.
Рівновіддаленість від осей: $|x|=|y|$, тобто $y=x$ або $y=-x$.
Відстань між точками
$d^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2$.
Дві умови разом. «Рівновіддалена від осей» звужує точку до однієї з бісектрис: $y=x$ чи $y=-x$. «Рівновіддалена від $A$» додає рівняння на відстань. Перебираємо обидві бісектриси й шукаємо точки, де відстань до осей дорівнює відстані до $A$.
Чому $y=-x$ не дає розв'язку. Для точки $(t;\,-t)$ рівняння зводиться до $t^2+6t+45=0$ з від'ємним дискримінантом. Це означає, що на бісектрисі II–IV чвертей немає точки, рівновіддаленої так, як треба. Усі розв'язки лежать на $y=x$.
Перевірка. Для $(3;\,3)$: відстань до осей $3$, до $A(3;\,6)$ — $\sqrt{0+9}=3$ ✓. Для $(15;\,15)$: до осей $15$, до $A$ — $\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15$ ✓.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.